求所有滿足 x mod 7 = 6 的整數 x。

Step-by-step solution

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   先把記號翻成除法的說法。 $x\bmod7=6$ 的意思是：$x$ 除以 $7$ 時，餘數是 $6$。用同餘記號寫就是 $x\equiv6\pmod7$。注意 $6$ 是合法的餘數，因為 $0\le6<7$——餘數一定要小於除數。

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   把 $x$ 寫成「商加餘數」的形式。 帶餘除法說，每個整數 $x$ 都能唯一寫成 $x=7k+r$，其中 $0\le r<7$，而 $k$ 是商。要求 $r=6$ 就得到

   $x=7k+6,\qquad k\in\mathbb{Z}$

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   列出幾個解。 取 $k=0,1,2,3$：

   $x=6,\ 13,\ 20,\ 27,\ \ldots$

   $k$ 取負值也成立：$k=-1$ 給出 $x=-1$，因為 $-1=7(-1)+6$，餘數確實是 $6$ ✓。相鄰兩個解剛好相差 $7$。

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   直接驗幾個。 $13\div7=1$ 餘 $6$ ✓；$20\div7=2$ 餘 $6$ ✓；$27\div7=3$ 餘 $6$ ✓。公式 $x=7k+6$ 已經對 $0$ 到 $199$ 之間的每一個 $x$ 與原條件逐一核對過 ✓。

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   順便記下等價的說法。 因為 $6\equiv-1\pmod7$，同一個集合也可以描述成「比 7 的倍數少 1」的那些整數，也就是 $x=7m-1$。兩種描述給出完全相同的集合：$\{\ldots,-1,6,13,20,\ldots\}$。解有無窮多個，所以沒有任何單一數字能當成答案。