計算 4^2^2^2 − 1。

Step-by-step solution

1. 1

   先把運算方向定死 —— 它會直接改變答案。 疊起來的指數是右結合的：$a^{b^{c}}$ 表示 $a^{(b^{c})}$，絕不是 $(a^{b})^{c}$。這裡若由左往右讀，會得到 $((4^{2})^{2})^{2}=4^{8}=65536$，與正確答案差了五個數量級。所以要從塔頂往下算。

2. 2

   先把塔頂收掉。

   $2^{2}=4,\qquad\text{接著}\qquad 2^{2^{2}}=2^{4}=16$

   於是底數 $4$ 的指數是 $16$，整個式子變成 $4^{16}-1$。

3. 3

   把底數改寫成 2 的次方，讓數字好處理。 因為 $4=2^{2}$，依次方的次方的規則，指數相乘：

   $4^{16}=\left(2^{2}\right)^{16}=2^{32}=4\,294\,967\,296$

   認出 $2^{32}$ 就是這題的捷徑 —— 它是個大家都眼熟的常數，不必真的去做長乘法。

4. 4

   減去 1。 這個減法作用在整個次方上，而不是作用在指數上：

   $4^{16}-1=4\,294\,967\,296-1=4\,294\,967\,295$

5. 5

   做精確驗證。 用 Python 的任意精度整數算得 $4^{(2^{(2^{2})})}-1=4294967295$ ✓，$2^{32}=4294967296$ ✓。再從結構上看，$2^{32}-1$ 正是 32 位元無號整數的最大值，而且能分解成 $(2^{16}-1)(2^{16}+1)=65535\times65537$ —— 又是一次平方差。