一列火車從 A 站到 B 站原本要 10 小時，現在只要 8 小時。它的速率提高了百分之多少？

Step-by-step solution

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   先注意路程是固定的。 同一條路線上，速率與時間成反比：$v=\dfrac{S}{t}$。正因為如此，答案並不是時間下降的那個 $20\%$——這兩個百分比取的基準並不相同。

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   把兩個速率都用同一個路程寫出來。 設路程為 $S$：

   $v_{\text{舊}}=\frac{S}{10},\qquad v_{\text{新}}=\frac{S}{8}$

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   作比值，讓 S 消掉。

   $\frac{v_{\text{新}}}{v_{\text{舊}}}=\frac{S/8}{S/10}=\frac{10}{8}=1.25$

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   把比值換算成增加的百分比。 比值是 $1.25$，代表新速率是舊速率的 $125\%$，也就是提高了

   $1.25-1=0.25=25\%$

   $\boxed{25\%}$

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   代具體數字檢驗。 取 $S=80$ km，則 $v_{\text{舊}}=8$ km/h、$v_{\text{新}}=10$ km/h，在 $8$ 的基準上提高了 $2$ km/h，也就是 $\tfrac28=25\%$ ✓。

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   說明 20% 為什麼會是誘人的錯誤答案。 時間確實下降了 $\tfrac{10-8}{10}=20\%$，但這個百分比是相對於原本的時間量出來的，而速率的增幅要相對於原本的速率。一般的關係是：時間乘以 $k$，速率就乘以 $1/k$；這裡 $k=0.8$，而 $1/0.8=1.25$。