一條緞帶既能剛好剪成數段 9 cm，也能剛好剪成數段 12 cm。這條緞帶最短是多少？

Step-by-step solution

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   先把題目的話翻成整除關係。 「剛好剪成 9 cm 的段」代表長度 $L$ 是 $9$ 的倍數；「剛好剪成 12 cm 的段」代表 $L$ 是 $12$ 的倍數。所以 $L$ 是 $9$ 與 $12$ 的公倍數，而「最短」就使它成為最小公倍數 - 不是最大公因數，這正是這題最經典的混淆處。

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   把兩個數做質因數分解。

   $9=3^2,\qquad 12=2^2\times 3$

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   每個質因數取最高次方。 求最小公倍數時，對出現過的每個質因數都保留較大的指數：$2^2$ 來自 $12$，$3^2$ 來自 $9$。

   $\operatorname{lcm}(9,12)=2^2\times 3^2=4\times 9=36$

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   檢查兩種分法都除得盡。

   $36\div 9=4\ \text{段},\qquad 36\div 12=3\ \text{段}$

   都是整數，所以 $36$ cm 確實可行。

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   確認更短的都不行。 $36$ 以下的 $12$ 的倍數只有 $12$ 和 $24$；兩個都不能被 $9$ 整除（$12\div9$ 與 $24\div9$ 都不是整數）。所以 $36$ cm 就是最短的緞帶 ✓。