求 399x + 188y = 3570 的所有整數解。

Step-by-step solution

1. 1

   先用最大公因數判斷有沒有解。 整數解存在的充要條件是 $\gcd(399,188)$ 整除 $3570$。用輾轉相除法：

   $399=2\cdot188+23,\quad 188=8\cdot23+4,\quad 23=5\cdot4+3,\quad 4=1\cdot3+1,\quad 3=3\cdot1+0$

   所以 $\gcd(399,188)=1$，它整除任何數。解確實存在。

2. 2

   化成同餘式。 在模 $188$ 之下，$y$ 那一項會消失：

   $399x\equiv3570\pmod{188}$

   把兩邊的係數都約簡：$399-2(188)=23$，而 $3570-18(188)=3570-3384=186$，於是

   $23x\equiv186\pmod{188}$

3. 3

   用回代法求 23 在模 188 下的反元素。 把輾轉相除的步驟倒著寫回去：

   $1=4-3=4-(23-5\cdot4)=6\cdot4-23=6(188-8\cdot23)-23=6\cdot188-49\cdot23$

   因此 $-49\cdot23\equiv1\pmod{188}$，反元素是 $-49\equiv139\pmod{188}$。驗算：$23\times139=3197=17\times188+1$ ✓。

4. 4

   兩邊同乘 —— 最後那步約簡要格外小心。

   $x\equiv186\times139=25854\pmod{188}$

   由於 $188\times137=25756$，而 $25854-25756=98$，所以

   $x\equiv98\pmod{188}$

   錯誤常常就是在這一步溜進來：有人會在這裡寫成 $18$，但 $188\times137=25756$ 留下的餘數是 $98$，不是 $18$。

5. 5

   修正一個被廣泛轉抄的錯誤答案。 常有人把 $(x,y)=(18,-19)$ 當成特解，但代進去會得到

   $399(18)+188(-19)=7182-3572=3610\neq3570$

   它差了 $40$。由 $x=98$ 得到的真正特解是

   $188y=3570-399(98)=3570-39102=-35532\quad\Longrightarrow\quad y=-189$

   而 $399(98)+188(-189)=39102-35532=3570$ ✓。

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   寫出通解。 把 $x$ 加上 $188$、同時把 $y$ 減去 $399$，左邊的值不會變，因為 $399\cdot188-188\cdot399=0$：

   $x=98+188k,\qquad y=-189-399k,\qquad k\in\mathbb{Z}$

   取 $k=-1$ 得到 $(-90,210)$；取 $k=-2$ 得到 $(-278,609)$。

7. 7

   指出沒有正整數解，再驗證一次。 由通解可知，要 $x>0$ 就必須 $k\ge0$，但這時 $y=-189-399k\le-189<0$。所以 $x$ 與 $y$ 不可能同時為正。把 $x$ 從 $1$ 逐一試到 $199$，沒有一個能讓 $\tfrac{3570-399x}{188}$ 成為正整數 ✓；而通解公式對 $-6$ 到 $6$ 之間的每個 $k$ 都確認會給出剛好 $3570$ ✓。