證明 369³ − 219³ 能被 1350 整除。

Step-by-step solution

1. 1

   別急著算次方，先用立方差公式分解。 取 $a^3-b^3=(a-b)\left(a^2+ab+b^2\right)$，令 $a=369$、$b=219$：

   $369^3-219^3=(369-219)\left(369^2+369\cdot 219+219^2\right)=150\left(369^2+369\cdot 219+219^2\right)$

   第一個因數已經提供了 $1350$ 裡的一大塊。

2. 2

   把 $150$ 和目標 $1350$ 比一比。 由於

   $1350=150\cdot 9$

   整個證明就化約成一件事：說明第二個因數能被 $9$ 整除。正是這樣重述目標，才把一次大計算變成一次小計算。

3. 3

   說明第二個因數是 9 的倍數。 $369$ 和 $219$ 都能被 $3$ 整除：$369=3\cdot 123$、$219=3\cdot 73$。因此 $369^2+369\cdot 219+219^2$ 裡的每一項都帶有因數 $3^2=9$：

   $369^2+369\cdot 219+219^2=9\left(123^2+123\cdot 73+73^2\right)$

   於是第二個因數就是 $9$ 乘上一個整數，全程不必真的算出任何數值。

4. 4

   把結論組裝起來。

   $369^3-219^3=150\cdot 9\left(123^2+123\cdot 73+73^2\right)=1350\left(123^2+123\cdot 73+73^2\right)$

   它是 $1350$ 乘上一個整數，整除性因此得證。

5. 5

   用實際數字確認一遍。 括號裡的和是 $15129+8979+5329=29437$，所以

   $369^3-219^3=1350\cdot 29437=39\,739\,950$

   直接計算也吻合：$369^3=50\,243\,409$、$219^3=10\,503\,459$，兩者之差正是 $39\,739\,950\;\checkmark$，而且 $39\,739\,950\div 1350=29\,437$ 除得盡。