自然數 A 的各位數字兩兩相異，A 乘以 9 之後所得數的各位數字和是 81。這樣的 A 有幾個？

Step-by-step solution

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   把 $9A$ 的數字和換算成借位次數。 利用 $9A=10A-A$，再按位相減。任何減法裡，每一次借位都會從某一位拿走 $10$、給下一位加上 $1$，所以結果的數字和會因此少 $9$。又因為 $10A$ 與 $A$ 的數字和相同，

   $S(9A)=S(10A)-S(A)+9b=9b,$

   其中 $b$ 是 $10A-A$ 裡的借位次數。（用 $20{,}000$ 組隨機的 $A$ 檢驗過：這個恆等式每次都成立。）

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   由此讀出 $A$ 必須有幾位數。 條件 $S(9A)=81$ 變成 $9b=81$，也就是恰好 $b=9$ 次借位。借位只可能發生在 $A$ 真的有數字的那些位上，所以 $b\le n$，其中 $n$ 是 $A$ 的位數。因此

   $n\ge 9.$

   正是這一步讓問題從漫無邊際變成有限。

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   用「數字相異」的條件把 $n$ 從上面卡住。 數字一共只有十個，而且必須兩兩不同，所以 $n\le 10$。跟上一步合起來，$A$ 只能是 $9$ 位數或 $10$ 位數 —— 而各位數字相異的 $10$ 位數 $A$ 必須把每個數字都用上一次，也就是全數字數，且 $S(A)=45$。

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   分別數一數候選有幾個。 $n=9$ 時有 $10\cdot 9!-9\cdot 8!\cdot 1=3{,}265{,}920$ 種（從十個數字中選九個並排出順序，扣掉首位為零的情形）；$n=10$ 時有 $9\cdot 9!=3{,}265{,}920$ 個全數字數。大約 $6.5$ 百萬個候選 —— 少到可以逐一精確檢驗。

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   逐一檢驗，把通過的收集起來。 窮舉之後得到 $1$ 個合格的九位數與 $511$ 個合格的十位數：

   $1+511=512.$

   那個九位數是 $A=987654321$，因為 $9\times 987654321=8888888889$，數字和是 $8\cdot 8+8+9=81$。最小的十位數是 $A=1098765432$，因為 $9\times 1098765432=9888888888$，數字和同樣是 $81$。

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   檢查兩個極端情形。 對 $A=987654321$，九個數位全都發生借位，這既是能有的最大次數，也恰好就是需要的九次。一個誘人卻錯誤的猜測是 $9A=999999999$，那會給出 $A=111111111$ —— 它的數字和沒問題，但各位數字全都一樣，違反相異的條件。正是這個擦身而過的例子說明了答案不是零：合格的乘積長得像 $8888888889$，而不是一整串的 9。