求 0.000061 + 0.000061(1.25) + 0.000061(1.25)² + … + 0.000061(1.25)⁹ 的和。

Step-by-step solution

1. 1

   先認出結構。 每一項都是前一項乘以 $1.25$，所以這是一個等比級數。讀出它的參數：首項 $a=0.000061$、公比 $r=1.25$；而指數從 $0$ 數到 $9$，剛好是 $n=10$ 項。把 $n$ 數成 $9$ 是最常見的陷阱。

2. 2

   把共同的首項提出來。

   $0.000061\left(1+1.25+1.25^{2}+\cdots+1.25^{9}\right)$

   這樣括號裡就是首項為 $1$ 的乾淨級數，只有括號需要套公式。

3. 3

   套用有限項等比級數的和公式。 當 $r\neq1$ 時，

   $S_{n}=\frac{r^{n}-1}{r-1}=\frac{1.25^{10}-1}{1.25-1}=\frac{1.25^{10}-1}{0.25}=4\left(1.25^{10}-1\right)$

   除以 $0.25$ 就等於乘以 $4$——這個化簡很好用，能讓算術保持精確。

4. 4

   把次方算出來。 因為 $1.25=\tfrac54$，

   $1.25^{10}=\frac{5^{10}}{4^{10}}=\frac{9\,765\,625}{1\,048\,576}=9.313225746\ldots$

   所以括號的值是 $4(9.313225746-1)=4(8.313225746)=33.252902984$。

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   再乘上首項——這一步要小心。

   $0.000061\times33.252902984=0.0020284271$

   整段計算改用精確分數再做一次，得到 $\dfrac{531\,739\,989}{262\,144\,000\,000}=0.00202842708\ldots$ ✓，與小數結果吻合。注意答案是 $0.0020284$ 而不是 $0.0020289$——這裡第四位有效數字很容易寫錯，一錯結果就差了大約 $0.025\%$。

6. 6

   再檢查一下量級合不合理。 十項，每項大約 $0.0002$ 上下，總和應該落在 $0.002$ 附近 ✓。成長倍數也對得上：末項是 $0.000061\times1.25^{9}\approx0.000455$，約為首項的 $7.5$ 倍——公比大於 $1$ 連乘九次，正該是這個量級。