求一個三位數 A，使 A 的各位數字之和能被 5 整除、A + 4 的各位數字之和也能被 5 整除，且 350 < A < 400。

Step-by-step solution

1. 1

   先由範圍定下百位數字。 任何滿足 $350<A<400$ 的 $A$ 都以 $3$ 開頭，所以寫成 $A=\overline{3ab}$，其中十位 $a\in\{5,6,7,8,9\}$、個位 $b\in\{0,\ldots,9\}$。數字和是 $S=3+a+b$。

2. 2

   弄清楚加 4 會對數字和做什麼。 只有兩種情形：

   • 若 $b\le 5$，不會進位，數字和增加 $4$：$S\to S+4$。
   • 若 $b\ge 6$，個位會繞回、十位加 $1$，所以數字和的變化是 $4-10+1=-5$：$S\to S-5$。

   這就是整題的關鍵。若 $5\mid S$，則 $S+4$ 絕不會是 $5$ 的倍數，而 $S-5$ 一定是。

3. 3

   由此斷定進位是必須的。 第一種情形不可能，所以必須有 $b\ge 6$——而且為了不讓十位也跟著進位，還要 $a\le 8$（十位若是 $9$，就會一路進到百位，算法又得重來）。

4. 4

   加上數字和的條件。 在 $b\in\{6,7,8,9\}$ 與 $a\in\{5,6,7,8\}$ 之下，要求

   $3+a+b\equiv 0\pmod 5.$

   可行的數對是 $(a,b)=(5,7)$ 給出 $S=15$、$(6,6)$ 給出 $S=15$，以及 $(8,9)$ 給出 $S=20$。

5. 5

   列出並檢查這些解。

   $A=357:\ 3+5+7=15,\quad 361\to 3+6+1=10\ \checkmark$
   $A=366:\ 3+6+6=15,\quad 370\to 3+7+0=10\ \checkmark$
   $A=389:\ 3+8+9=20,\quad 393\to 3+9+3=15\ \checkmark$

   把 $351$ 到 $399$ 之間的每個整數都暴力掃過一遍，確認就只有這三個。其中任何一個都能回答本題。