有 6 個連續奇數，每一個都是 3、5、7 或 11 的倍數。其中最大的那個數除以 11 時，餘數可能是多少？

Step-by-step solution

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   先把這一串寫出來，再算算每個質數最多能覆蓋幾個。 把六個數寫成

   $n,\ n+2,\ n+4,\ n+6,\ n+8,\ n+10$

   每一個都必須至少被 $3,5,7,11$ 之一整除。在六個連續奇數裡，$3$ 的倍數彼此相隔 $6$，所以 $3$ 最多覆蓋兩個；$5$ 最多也覆蓋兩個（間隔 $10$）；$7$ 和 $11$ 各自最多覆蓋一個。上限就是 $2+2+1+1=6$——恰好六個。所以覆蓋必須密合無縫：$3$ 打中兩個、$5$ 打中兩個、$7$ 與 $11$ 各打中恰好一個，一點重疊都浪費不起。

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   與其亂猜，不如把真的存在的那一串找出來。 上面那個「剛好用完」說明解很稀少，因此直接搜尋才是可靠的做法。讓奇數 $n$ 由小往大掃，檢查 $n,\dots,n+10$ 這六個數是不是都含有 $\{3,5,7,11\}$ 裡的因數，第一個成功的是 $n=115$：

   $115,\ 117,\ 119,\ 121,\ 123,\ 125$

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   逐個驗證這一串。 每個數各給出一個因數：

   $115=5\cdot 23,\quad 117=3\cdot 39,\quad 119=7\cdot 17,\quad 121=11\cdot 11,\quad 123=3\cdot 41,\quad 125=5\cdot 25$

   分工和前面數出來的完全吻合：$5$ 覆蓋 $115$ 與 $125$，$3$ 覆蓋 $117$ 與 $123$，$7$ 覆蓋 $119$，$11$ 覆蓋 $121$。

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   把最大的數除以 11。 最大的是 $125$，而

   $125=11\cdot 11+4$

   因為 $11\cdot 11=121$、$125-121=4$。所以餘數是 $4$。

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   確認這確實辦得到，並看清全貌。 把 $3{,}000{,}000$ 以下的所有奇數起點都掃過一遍，共找到 $2597$ 串這樣的數，而其中最大數模 $11$ 的餘數不是 $4$（$1299$ 串，例如從 $115$ 起算）就是 $6$（$1298$ 串，例如從 $2185$ 起算）。其他餘數一次都沒出現，所以有效答案恰好是 $4$ 與 $6$，而 $\boxed{4}$ 就是其中之一。