Geometry
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Real geometry questions asked by students, solved step by step Every question below was submitted by a real student and answered step by step.
El ángulo ADB = 42°. Al duplicar la mitad bisecada se obtiene el ángulo A = 56°, luego la suma de ángulos da B = 110°, y el triángulo ABD se cierra con 180° − 28° − 110°.
La altura es 2√3 cm y el ángulo AGM mide 60 grados. La congruencia LAL de los triángulos ABN y BCM da AN = BM y fija el ángulo en su punto de cruce.
BD = 20 cm y CD = 30 cm salen de la razón 30:45 de la bisectriz, y las dos paralelas dan DE = DF = 18 cm; esa igualdad es lo que convierte a AFDE en un rombo.
Se traza por P la recta paralela a las dos. Los ángulos conjugados internos dan 70 y 40 grados a cada lado de ella, así que el ángulo del zigzag en P mide 110 grados.
El ángulo A = 83 grados. Cuando AB = BC y AD = CD el cuadrilátero es una cometa, así que los otros dos ángulos son iguales: A = C = (360 − 58 − 136)/2 = 83 grados.
Respuesta: 36, 72, 108 y 144 grados. Llama x al valor común, de modo que los ángulos son x, 2x, 3x, 4x; su suma vale 360 grados, lo que da 10x = 360 y x = 36.
Los cuatro ángulos son 75°, 85°, 95° y 105°. Expresa todos en función de M y usa que la suma vale 360 grados para llegar a 4x + 60 = 360, de donde x = 75.
Con el ángulo B = 36 y el ángulo C = 76 resulta el ángulo A = 68, así que el ángulo BAD = 34 y el ángulo BAF = 54. Entonces el ángulo DAF = 20, el ángulo AFD = 90 y el ángulo ADF = 70.
La afirmación es falsa. Los ángulos iguales fuerzan la misma forma pero no el mismo tamaño, así que AAA da solo semejanza; los triángulos 3-4-5 y 6-8-10 son el contraejemplo estándar.
El perímetro es 8 + 6r y el área es √3·r(r + 4). El saliente de cada extremo mide r, así que el lado 2r, el desplazamiento r y la altura forman un triángulo de 30-60-90 con altura r√3.
El área es 156 m². Se multiplican las dos longitudes de los lados, y la unidad pasa a ser metros cuadrados porque se multiplican dos longitudes medidas en metros.
El área es 168 unidades cuadradas. Multiplica 14 por 12; el perímetro, en cambio, es 2(14 + 12) = 52 unidades: otra fórmula para otra magnitud.
El área es 12 m². El rectángulo cubre una cuadrícula de 4 por 3 cuadrados de un metro de lado, que es exactamente lo que cuenta el producto de las dos longitudes.
Respuesta: 3500 cm², que equivalen a 0.35 m². El área es base por altura, y las unidades también se multiplican, así que centímetros por centímetros dan centímetros cuadrados.
El área es 3850 pulgadas cuadradas. Con A = πr² y π = 22/7, cancela 35² = 1225 contra el 7 y queda 22 × 175 = 3850. El valor exacto es 1225π = 3848.45 in².
El área es 962.5 cm². Resolver 2πr = 110 con π = 22/7 da exactamente r = 17.5, y elevar ese radio al cuadrado mantiene la aritmética en fracciones enteras.
Respuesta: 282 metros cuadrados. Cuando los dos lados rectos son radios de 15 m y el borde curvo mide 37.6 m, el área del sector es A = rL/2 = 15 × 37.6 / 2.
El hexágono mayor tiene un área de 225 metros cuadrados. Las áreas de figuras semejantes escalan con el cuadrado de la razón de lados, así que multiplica 81 por (5/3)² = 25/9, no por 5/3.
El rectángulo tiene un área de 54 cm². Divide el perímetro de 12 cm entre 4 para obtener el lado de 3 cm, elévalo al cuadrado para llegar a 9 cm² por cuadrado y multiplica por los seis cuadrados.
El área es 238.524 unidades cuadradas. Descomponer 9.174 en 9 + 0.174 da 234 + 4.524, más rápido y más fácil de comprobar que multiplicar los decimales directamente.
Respuesta: 40 unidades cuadradas. El área de un rectángulo es largo por ancho, así que A = 8 × 5 = 40, y ese mismo producto cuenta los cuadrados unitarios que lo recubren.
El anillo tiene un área de 423.5 pulgadas cuadradas. Factorizar R² − r² como (R − r)(R + r) convierte 441 − 306.25 en el producto mucho más fácil 3.5 por 38.5.
El área es 128 cm². Cada triángulo tiene un área de ½ × 8 × 8 = 32 cm² y, como las copias no se solapan, la disposición nunca afecta al total.
El área es 60 cm². La altura sobre la base la corta por la mitad y aparece un triángulo rectángulo 5-12-13, así que la altura mide 5 cm y el área es (1/2)(24)(5) = 60 cm².
No: cuatro longitudes de lado no determinan el área de un cuadrilátero. Aquí se explica por qué y qué medida adicional (una diagonal, un ángulo) hace falta para terminar el cálculo.
El polígono menor tiene un área de 180 metros cuadrados. Para bajar desde 320 se usa el cuadrado de la razón, (3/4)² = 9/16, y no la razón 3/4 en sí.
El área es 42. Traslada una diagonal para formar un triángulo de lados 15, 7 y 20 y aplica la fórmula de Herón, o halla la altura 4.2 directamente y multiplícala por 10.
El área es y = 24 − 3x con 0 < x < 8. Toma PB = 8 − x como base; como el ángulo C es recto, el cateto AC = 6 es la altura para cualquier posición de P.
La razón de áreas es 4:9. En los polígonos semejantes las áreas escalan con el cuadrado de la razón de semejanza, así que una razón de lados 2:3 pasa a ser 2 al cuadrado a 3 al cuadrado, o sea 4:9.
El área compartida es exactamente 2π, unas 6.283 unidades cuadradas. El centro está sobre la hipotenusa y la circunferencia es tangente a los dos catetos, así que el solape es justo la mitad del disco.
Como Bm es paralelo a Ay, el ángulo xBm es igual al ángulo xAy, así que sus bisectrices forman ángulos correspondientes iguales con Ax y son paralelas; y las bisectrices del par suplementario xBm y ABm se cortan a 90 grados.
Compara con (x−h)² + (y−k)² = r². Como y + 3 es y − (−3), la coordenada y del centro vale −3, y r es la raíz cuadrada de 9, no 9 mismo.
Con C = 2 pi r y pi = 22/7, el 7 del denominador cancela exactamente el 28: 2 × 22 × 4 = 176 cm. Con el pi verdadero la respuesta es 175.93 cm.
AB es √29 (unos 5.39) y CD es √5 (unos 2.24), así que AB es el más largo. Al elevar al cuadrado las diferencias de coordenadas, el orden de la resta deja de importar.
La forma cartesiana es (√3, 1, 5) ≈ (1.732, 1, 5). Se aplican x = r cos θ y y = r sen θ con los valores exactos de 30°, mientras la altura z pasa sin cambios.
Respuesta: AB = 17. A está a dos tercios del camino de (1,10) a (-8,4), o sea A(-5,6); B es el punto medio de (0,-7) y (6,-11), o sea B(3,-9); entonces AB = √(64+225).
La distancia es √11562 ≈ 107.53. Las diferencias de coordenadas son 83, −7 y −68, y 11562 = 2·3·41·47 no tiene ningún factor cuadrado, así que el radical no se puede simplificar.
La distancia es √22, unos 4.6904. La fórmula en 3D añade un tercer término al cuadrado al teorema de Pitágoras, y elevar al cuadrado elimina todos los signos.
La distancia a la recta es 11/√10 ≈ 3.4785 y se alcanza en a = 0.7. La distancia al punto de parámetro a es √(10a² − 14a + 17), una parábola que se minimiza en su vértice.
La distancia es √(227/14) ≈ 4.0267. El producto vectorial del vector del punto con la dirección (3, 1, 2) da (9, −5, −11), y al dividir su longitud entre √14 se obtiene la distancia.
El par es (λ, μ) = (1/2, 1/4). Coloca cada punto como vector de posición, usa D = (B+C)/2 y M = (A+D)/2, luego resta B e iguala coeficientes frente a BA y BC.
El ángulo ACB mide 44 grados. Se llama x al ángulo C, se escribe el ángulo A como 120 − x usando la suma de ángulos, se toma su mitad porque AL es bisectriz y se resuelve el triángulo pequeño ALC.
La respuesta es AC = 9 cm. La razón de la bisectriz AD/DC = AB/BC da BC = 14, y luego BO, que biseca el ángulo B dentro del triángulo ABE, da OA/OE = AB/BE.
QR = 2 1/2 metros. Como PQ es el segmento más largo, R queda entre P y Q, así que QR = PQ − PR = 35/6 − 20/6; el orden contrario daría una longitud negativa, imposible.
El otro extremo es S(5, 0). Se invierte la fórmula del punto medio con x2 = 2xM − x1, de modo que el paso de R a M se repite una vez más y cae justo sobre S.
El segmento mide 17 − 5 = 12, dos tercios de eso son 8, y esas 8 unidades hay que medirlas desde X, lo que da 5 + 8 = 13, no 17 − 8.
La desigualdad triangular exige que la suma de los dos lados menores sea estrictamente mayor que el mayor. Aquí 4 + 7 = 11, así que la figura es degenerada y no existe ningún triángulo.
Existe exactamente un triángulo. Los tres lados están fijados, así que el criterio LLL lo vuelve único, y la desigualdad triangular se cumple porque 4 + 8 = 12 es mayor que 11.
La hipotenusa mide c = 5. Al elevar los catetos al cuadrado se obtiene 9 + 16 = 25, un cuadrado perfecto, y por eso 3-4-5 es la terna pitagórica más conocida.
La hipotenusa es c = √61 = 7.81. Como 61 es primo, no tiene ningún factor cuadrado, así que el radical no se puede simplificar y la respuesta exacta queda en forma de raíz.
Cambiar de signo ambas coordenadas envía cada punto al lado opuesto del origen a la misma distancia, que es un giro de media vuelta, no una reflexión, la cual cambia de signo una sola coordenada.
Los ángulos exteriores son 24, 48, 72, 96 y 120 grados, así que los interiores son 156, 132, 108, 84 y 60 grados — una razón 13:11:9:7:5 que suma 540.
Los dos puntos de corte son (0.8800, 0.5081) y (0.3821, 0.2206). Sustituir la recta en la circunferencia da una cuadrática con discriminante 0.44074, luego hay dos cortes.
Dos alturas de un triángulo isósceles recortan segmentos iguales: BK = CH se deduce de triángulos rectángulos congruentes, y KH es paralela a BC por el recíproco del teorema de Tales.
Si AB = AC y D es el punto medio de BC, entonces AD es perpendicular a BC. La demostración usa la congruencia LLL más el par lineal, con una prueba con coordenadas como segunda verificación.
El área máxima es 121/4 = 30.25, alcanzada por un rectángulo de 5.5 de alto y 5.5 de ancho. El ancho del trapecio a la altura x es 11 − x, así que el área es x(11 − x).
AB mide 5√2, unos 7.07, y el punto medio es (10, 0). La distancia eleva al cuadrado las diferencias de coordenadas; el punto medio las promedia, así que ahí los signos importan.
El punto medio es (3.5, 2.5). Promedia por separado las coordenadas x y las coordenadas y: restarlas en lugar de promediarlas es lo que produce las respuestas erróneas más habituales.
El punto medio es (1843.5, 135.5, −4558). Promedia por separado los tres pares de coordenadas; dos de los tres promedios caen en un medio, cosa esperable si la suma es impar.
El punto más cercano es (21/10, 7/10) = (2.1, 0.7), la proyección ortogonal de (1, 4) sobre (3, 1). El residuo (−1.1, 3.3) es perpendicular al vector director.
Los ángulos opuestos de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia son suplementarios, así que el ángulo ADC mide 180 - 136 = 44 grados.
El cuadrado del solapamiento tiene lado 6 cm. Cada hoja tiene área d²/2 = 98, las dos suman 196 y, al restar el área cubierta de 160, queda un solapamiento de 36 centímetros cuadrados.
El cuadrado de solape tiene lado 4 cm. Cada hoja mide 200 cm² de área, las dos suman 400, y como el área cubierta es 384, el solape queda en solo 16 cm².
El cuadrado de solapamiento tiene lado 8 cm. Cada hoja cubre 392 cm², así que dos hojas dan 784, y el área cubierta declarada de 720 deja 64 cm² contados dos veces.
La forma canónica es (x + 4)² = −4(y − 2), así que el vértice es (−4, 2), el foco es (−4, 1), el eje de simetría es x = −4 y la directriz es la recta y = 3.
La pista mide 88 m. Cada esquina cambia 14 m de borde recto por un arco de cuarto de circunferencia de 3.5π ≈ 11 m, así que el perímetro de 100 m se reduce unos 3 m cuatro veces.
La diagonal parte el rectángulo en dos triángulos iguales, así que el área del rectángulo es 16. Al dividir entre 4√2 se obtiene el otro lado, 2√2, y el perímetro es 12√2.
La pista mide 44 + 14π = 88 m. Cada esquina cambia 7 + 7 m de borde recto por un arco de cuarto de circunferencia, así que el perímetro baja unos 3 m por esquina.
La fórmula del área da una altura de 4 m; el saliente de la base es (18 − 12)/2 = 3 m, así que cada lado inclinado es la hipotenusa de un triángulo 3-4-5, es decir 5 m, y el perímetro es 12 + 18 + 5 + 5 = 40 m.
El tercer lado tiene que medir 5 o 6, lo que da los triángulos 5-5-6 y 6-6-5. Ambos cumplen la desigualdad triangular, así que el perímetro no es único: 16 o 17.
Un polígono con 14 diagonales es un heptágono (n = 7), y el único polígono cuya suma de ángulos interiores coincide con la de los exteriores es el cuadrilátero, ya que (n − 2)180 = 360.
Las dos demostraciones salen de las coordenadas B(0,0), A(a,0), C(0,a), H(t,0), D(0,−t). Los productos escalares de DH con AC y de CH con AD valen exactamente cero.
La razón es 4:3. En figuras semejantes la razón de perímetros es igual a la razón de lados correspondientes, así que 8 cm a 6 cm se reduce a 4:3 sin cálculos adicionales.
El cuarto más grande cuesta 384 dólares. El costo sigue al área, y el área escala como el cuadrado de la razón de lados, así que se multiplican los 216 dólares por (4/3)² = 16/9.
Dos vértices consecutivos del cuadrado son (2, −1) y (−1, 3). Al girar 90° el vector del lado aparecen dos cuadrados válidos: (3, 6) y (6, 2), o bien (−5, 0) y (−2, −4).
CD = 7. Al resolver 7 + (x + 5) = 7x se obtiene x = 2, así que CD = x + 5 = 7, y el segmento completo BD = 14 acaba dividiéndose en dos mitades iguales de 7.
DF = 4. Aquí el segmento completo también contiene x, así que el postulado da 2 + 2x = x + 3 y por tanto x = 1; al sustituir resulta DF = 4 con dos partes iguales de 2.
FH = 20. Al resolver 4 + 8x = 10x se obtiene x = 2, así que FH = 10x = 20, formado por FG = 4 y GH = 16 — aquí el término constante es el que fija la variable.
LM = 17. El postulado da (x + 10) + 4 = 3x, así que x = 7; sustituir de vuelta en LM = x + 10 es el paso que responde la pregunta que de verdad se hizo.
LN = 51, a partir de x = 19. Como M está entre L y N, de LM + MN = LN sale una sola ecuación lineal en x; después hay que sustituir en LN y no responder con x.
MN = 12. La ecuación 6 + (x + 9) = 6x tiene solución x = 3, así que MN = x + 9 = 12 y el total LN = 18 coincide con 6 + 12, lo que confirma que la partición es coherente.
MN = 15. De 9 + (x + 7) = 3x se obtiene x = 8, así que MN = x + 7 = 15, y el segmento completo LN = 24 es igual a 9 + 15, exactamente como exige el postulado.
QR = 33, a partir de x = 3. R está entre Q y S, así que QR + RS = QS; los términos 11x y 19x se combinan en 8x = 24, y al sustituir se obtiene la longitud QR, no x.
RT = 18. De 6x + 6 = 9x sale x = 2, así que RT = 9x = 18, repartido en RS = 12 y ST = 6 — y la razón de coeficientes 6 : 9 ya anticipa ese reparto de dos tercios.
TU = 40, a partir de x = 7. Plantee ST + TU = SU porque T está entre S y U, resuelva la ecuación lineal y sustituya solo en la expresión de TU.
El lado del cuadrado mide 7.8 cm. El perímetro del triángulo equilátero es 3 × 10.4 = 31.2 cm, y dividir ese perímetro común entre 4 lados da 7.8 cm.
La respuesta es √78, unos 8.83 cm. Cada cuadrado tiene área d²/2 = 162, así que el solapamiento mide 162 + 162 − 246 = 78 cm² y su lado es la raíz cuadrada de esa área.
La respuesta es 8√3, unos 13.86 cm. Cada cuadrado tiene área 288, así que el solapamiento es 576 − 384 = 192 cm² y √192 se simplifica a 8√3.
La fórmula es r = √(A/π) y el radio es 5 cm. Divide entre π antes de extraer la raíz, y quédate solo con la raíz positiva porque un radio no puede ser negativo.
El resultado es h = S/(2πr) − r. Resta primero las dos tapas circulares y divide después todo el miembro restante entre 2πr; dividir antes de restar es el error habitual.
El arco lejano mide 140 grados. Un ángulo exterior vale la mitad de la diferencia de los dos arcos interceptados, así que 38 = (lejano − 64)/2 da lejano = 76 + 64.
La potencia del punto P cumple PA² = PD × PC, así que PC = 100/8 = 12.5 y la cuerda CD = PC − PD = 4.5.
El área total es 486 cm². Extrae la raíz cúbica de 729 para obtener una arista de 9 cm y aplica después S = 6a² a las seis caras cuadradas idénticas: 6 × 81 = 486 cm².
El área total es 486 centímetros cuadrados. Extrae la raíz cúbica de 729 para obtener una arista de 9, elévala al cuadrado para el área de una cara, 81, y multiplica por las seis caras del cubo.
Un trapecio con el lado BC = 7 cm cuyo lado opuesto tiene el punto medio a 4 cm de BC tiene área 28 cm². La clave: el triángulo IBC es siempre exactamente la mitad del trapecio.
Respuesta: 556.5 unidades cuadradas. Una figura con forma de triángulo de punta plana es un trapecio, así que promedia los lados paralelos (45+8)/2 = 26.5 y multiplica por la altura 21.
El perímetro es 12, y no «10 o 12». La ecuación da los lados 2 y 4, pero el 2 incumple la desigualdad triangular con los lados 3 y 5, así que solo sirve la raíz 4.
Una fila recta de cinco cuadrados de 1 cm tiene perímetro 12 cm y un bloque de 3 más 2 tiene perímetro 10 cm. La regla es perímetro = 20 − 2 × (número de lados compartidos).
Vértice (1, 2), foco (1, 4), eje x = 1, directriz y = 0. Compara la ecuación con (x − h)² = 4p(y − k), lee h, k y p, y sitúa después el foco.
Vértice (1, −3), foco (−2, −3), eje y = −3, directriz x = 4. Detecta el cuadrado perfecto, factoriza hasta (y + 3)² = −12(x − 1) y lee 4p = −12.
V = 1.331√3π/3 = 2.41 metros cúbicos. El ángulo de 60 grados del vértice se parte en un semiángulo de 30 grados, así que la altura es r/tan30 = 1.1√3 = 1.9052 m.
El volumen es 36π, unas 113.1 pulgadas cúbicas, que corresponde a la opción 113.04. Divide primero el diámetro entre 2 para obtener r = 3; usar d = 6 multiplica la respuesta por ocho.
El volumen es de unos 19.313 m³. El vértice de 60° da un semiángulo de 30°, así que la altura es r√3 = 3.8105 m antes de aplicar V = πr²h/3.
El volumen es 729 centímetros cúbicos. Divide 486 entre las seis caras del cubo para obtener un área de cara de 81, extrae la raíz cuadrada para una arista de 9 y elévala al cubo.
Respuesta: 90π, unas 282.74 unidades cúbicas. El volumen de un cilindro es el área de la base πr² multiplicada por la altura, así que π·3²·10 = 90π.
El volumen es 2,958,816 unidades cúbicas. Multiplica largo × ancho × alto descomponiendo 444 × 476 en productos parciales, para que la multiplicación de tres factores siga siendo verificable a mano.
El volumen es 384 pulgadas cúbicas. Eleva al cuadrado la arista de la base para obtener 144, multiplica por la altura 8 hasta llegar a 1152 y divide entre 3, porque una pirámide es la tercera parte de su prisma.
El volumen es 600 metros cúbicos. Eleva al cuadrado la arista de la base para obtener 225, multiplica por la altura 8 y toma la tercera parte; ese tercio es lo que separa una pirámide de un prisma.
Divide el diámetro entre 2 para obtener r = 6 mm y aplica V = (4/3)πr³ = 288π. Eso son 904.78 mm³ con el π verdadero, o los 904.32 mm³ que aparecen en los solucionarios hechos con π = 3.14.
El volumen es 5827.5 m³. Primero se halla el área de la sección triangular rectángula (1/2 × 21 × 15 = 157.5 m²) y después se multiplica por la longitud de 37 m del prisma.
El volumen es √3·π ≈ 5.44 cm³. El rombo de lado 2 cm y ángulo 60° tiene área 2√3 cm², de donde salen el radio r = 1 cm y la altura h = √3 cm.
Las dos partes quedan en razón 9 : 23. El plano por los puntos medios de AD y AB paralelo a TA deja una sección pentagonal y, cortando por alturas, la parte menor mide exactamente 3/32.
Las dos partes miden 2a²t/45 y 13a²t/45. Con coordenadas se halla dónde corta el plano PQK a las cuatro aristas laterales y luego se aplica la regla de razones para tetraedros.