Escribe x² + 8x = −4y − 8 en forma canónica y determina el vértice, el foco, el eje de simetría y la directriz de la parábola.

Step-by-step solution

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   Decidir en qué variable completar el cuadrado. Solo $x$ aparece elevada al cuadrado, así que se trata de una parábola vertical de la familia $(x-h)^2 = 4p(y-k)$. Agrupar los términos en $x$ en un miembro y dejar $y$ lineal en el otro es exactamente lo que exige esa forma.

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   Completar el cuadrado en $x$. La mitad del coeficiente $8$ es $4$, y $4^2 = 16$, así que se suma $16$ en ambos miembros para mantener la ecuación equilibrada:

   $x^2 + 8x + 16 = -4y - 8 + 16$

   $(x+4)^2 = -4y + 8$

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   Factorizar el miembro derecho para dejar a la vista $4p$ y $k$. Sacar factor común $-4$ lleva la ecuación a la forma canónica:

   $(x+4)^2 = -4(y-2)$

   Comparando con $(x-h)^2 = 4p(y-k)$ se obtiene $h=-4$, $k=2$ y $4p=-4$, luego $p=-1$. Que $p$ sea negativo indica que la parábola se abre hacia abajo.

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   Leer el vértice y el eje de simetría. El vértice es $(h,k) = (-4,\,2)$, y el eje de simetría es la recta vertical que pasa por él, $x=-4$. Cada punto de la curva se refleja respecto de esa recta.

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   Localizar el foco y la directriz con $p$. El foco está a $|p|$ unidades del vértice hacia dentro de la curva, y la directriz a la misma distancia por fuera:

   $\text{foco} = (h,\ k+p) = (-4,\ 1), \qquad \text{directriz: } y = k - p = 3$

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   Comprobar con la definición de parábola. Todo punto de la curva debe equidistar del foco y de la directriz. Se toma $x=0$, que da $y=-2$: la distancia al foco $(-4,1)$ es $\sqrt{4^2+3^2}=5$, y la distancia a la recta $y=3$ es $|-2-3| = 5$. Las dos coinciden, lo que confirma el foco y la directriz.