El triángulo ABC es rectángulo isósceles con el ángulo recto en B. El punto H está en el lado AB y el punto D está en la semirrecta opuesta a la semirrecta BC, con BH = BD. Demuestra que DH es perpendicular a AC y que CH es perpendicular a AD.

Step-by-step solution

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   Coloca coordenadas en el ángulo recto — eso es lo que vuelve rutinarios los dos apartados. Como el ángulo recto está en $B$ y los dos catetos son iguales, situar $B$ en el origen con los catetos sobre los ejes no cuesta nada y convierte cada hipótesis en una coordenada:

   $B=(0,0),\quad A=(a,0),\quad C=(0,a),\qquad a>0$

   $H$ está sobre el segmento $AB$, así que $H=(t,0)$ con $0<t\le a$. $D$ está sobre la semirrecta opuesta a la semirrecta $BC$, es decir, sobre el semieje $y$ negativo, de modo que $D=(0,-d)$ con $d>0$. La condición $BH=BD$ dice que $t=d$, y por tanto

   $H=(t,0),\qquad D=(0,-t)$

   Fíjate en que ahora un solo parámetro $t$ codifica toda la configuración.

2. 2

   Demuestra (a) con un producto escalar. Forma los dos vectores directores:

   $\vec{DH}=H-D=(t-0,\,0-(-t))=(t,\,t),\qquad \vec{AC}=C-A=(0-a,\,a-0)=(-a,\,a)$

   Su producto escalar es

   $\vec{DH}\cdot\vec{AC}=t(-a)+t(a)=-at+at=0$

   Como ninguno de los dos vectores es nulo ($t>0$ y $a>0$), un producto escalar nulo significa que las rectas son perpendiculares, así que $DH\perp AC$.

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   Vuelve a leer (a) en términos de ángulos, para ver por qué es forzoso. El triángulo $BHD$ tiene el ángulo recto en $B$ (los ejes son perpendiculares) y catetos $BH=BD$, así que es rectángulo isósceles y $\angle BHD=\angle BDH=45^{\circ}$. El triángulo $ABC$ también es rectángulo isósceles, de modo que $\angle BAC=\angle BCA=45^{\circ}$. Por lo tanto la recta $DH$ corta a la recta $BC$ formando $45^{\circ}$ y la recta $AC$ la corta formando $45^{\circ}$ por el otro lado, y los dos ángulos de $45^{\circ}$ suman $90^{\circ}$. La perpendicularidad es en realidad una afirmación sobre dos triángulos rectángulos isósceles que comparten un par de rectas perpendiculares.

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   Demuestra (b) con las mismas coordenadas. Usa ahora el otro emparejamiento:

   $\vec{CH}=H-C=(t,\,-a),\qquad \vec{AD}=D-A=(-a,\,-t)$

   Así que

   $\vec{CH}\cdot\vec{AD}=t(-a)+(-a)(-t)=-at+at=0$

   Por lo tanto $CH\perp AD$. De forma equivalente, con pendientes, $m_{CH}=\dfrac{0-a}{t-0}=-\dfrac{a}{t}$ y $m_{AD}=\dfrac{-t-0}{0-a}=\dfrac{t}{a}$, y su producto es $-\dfrac{a}{t}\cdot\dfrac{t}{a}=-1$, el criterio de las pendientes para rectas perpendiculares. La forma con pendientes exige $t\neq 0$, cosa que la del producto escalar no necesita, así que el producto escalar es el argumento más limpio.

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   Observa la razón estructural y verifica numéricamente. El apartado (b) es en realidad el ortocentro disfrazado: en el triángulo $ACD$ la recta $AB$ es una altura desde $A$ (es perpendicular a $CD$, el eje $y$) y $H$ está sobre ella, mientras que $DH\perp AC$, por el apartado (a), convierte a $DH$ en la altura desde $D$; las dos alturas se cortan en $H$, así que la tercera altura $CH$ también tiene que pasar por ahí, lo que da $CH\perp AD$. Una comprobación numérica con $a=3.7$, $t=1.4$ devuelve $\vec{DH}\cdot\vec{AC}=0$ y $\vec{CH}\cdot\vec{AD}=0$ exactamente, y el producto de las pendientes vale $-1.0$.