Desde un punto exterior P se trazan una tangente y una secante a una circunferencia. El ángulo en P mide 38 grados y el arco interceptado cercano mide 64 grados. Halla el arco interceptado lejano.

Step-by-step solution

1. 1

   Recuerda el teorema del ángulo exterior. Para dos rectas cualesquiera que se cortan fuera de una circunferencia —dos secantes, una tangente y una secante, o dos tangentes— el ángulo que forman es la mitad de la diferencia de los dos arcos interceptados:

   $\angle P=\frac{1}{2}\left(\text{arco lejano}-\text{arco cercano}\right)$

   El contraste que conviene recordar: un ángulo con el vértice sobre la circunferencia vale la mitad de un solo arco, y uno dentro de la circunferencia vale la mitad de la suma de dos arcos. La posición del vértice decide la regla.

2. 2

   Identifica cuál es cada arco. El arco cercano es el que queda entre los dos puntos de corte más próximos a $P$ (aquí $64^{\circ}$); el arco lejano es el del lado opuesto de la circunferencia. El arco lejano siempre es el mayor de los dos, así que la respuesta debe superar los $64^{\circ}$: una comprobación útil antes de calcular.

3. 3

   Sustituye los valores dados.

   $38=\frac{1}{2}\left(\text{lejano}-64\right)$

4. 4

   Despeja el arco desconocido. Multiplica los dos miembros por 2 y suma después 64:

   $76=\text{lejano}-64\ \Longrightarrow\ \text{lejano}=140^{\circ}$

5. 5

   Verifica que la configuración es coherente. El arco lejano de $140^{\circ}$ es efectivamente mayor que el cercano de $64^{\circ}$ ✓, y entre los dos ocupan $204^{\circ}$ de la circunferencia, con lo que quedan $156^{\circ}$ para los dos arcos restantes que delimita el punto de tangencia: una cantidad positiva, así que la figura es geométricamente posible. Sustituyendo hacia atrás: $\tfrac12(140-64)=\tfrac12(76)=38^{\circ}$ ✓.