Dos lados de un triángulo miden 3 y 5. La longitud del tercer lado es una raíz de la ecuación x al cuadrado menos 6x más 8 igual a 0. Halla el perímetro del triángulo.

Step-by-step solution

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   Resuelve la ecuación cuadrática para obtener los candidatos. Factoriza buscando dos números de producto $8$ y suma $-6$:

   $x^{2}-6x+8=(x-2)(x-4)=0\ \Longrightarrow\ x=2\ \text{o}\ x=4.$

   Los dos son positivos, así que ambos superan el filtro evidente de «una longitud debe ser positiva», y esa es justamente la trampa sobre la que está construido este problema.

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   Recuerda la condición que la ecuación cuadrática desconoce. Tres números positivos forman un triángulo solo si cada lado es menor que la suma de los otros dos. Con los dos lados conocidos $3$ y $5$, el tercer lado $x$ debe cumplir

   $5-3<x<5+3,\qquad\text{es decir}\qquad 2<x<8.$

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   Prueba $x=2$. Aquí $3+2=5$, que es igual al lado restante en lugar de mayor que él. Los tres segmentos quedarían alineados en una recta y darían una figura degenerada sin área, así que $x=2$ hay que rechazarlo.

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   Prueba $x=4$. Comprueba las tres desigualdades: $3+5=8>4$, $3+4=7>5$ y $5+4=9>3$. Todas se cumplen de forma estricta, así que existe un triángulo genuino de lados $3$, $4$, $5$; de hecho, el conocido triángulo rectángulo, ya que $3^2+4^2=5^2$.

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   Calcula el perímetro. Solo una raíz es admisible, de modo que la respuesta es única:

   $P=3+5+4=12.$

   Responder «$10$ o $12$» es el error clásico: viene de usar las dos raíces sin aplicar la desigualdad triangular.