Identifica el vértice, el foco, el eje de simetría y la directriz de la parábola y² + 6y + 9 = 12 − 12x.

Step-by-step solution

1. 1

   Detecta el trinomio cuadrado perfecto en lugar de completar el cuadrado. El miembro izquierdo $y^2 + 6y + 9$ ya es $(y+3)^2$, porque $9 = (6/2)^2$. Reconocerlo ahorra por completo el paso de completar el cuadrado:

   $(y+3)^2 = 12 - 12x$

2. 2

   Factoriza el miembro derecho para que tenga la forma $4p(x-h)$. Saca $-12$ como factor:

   $(y+3)^2 = -12(x-1)$

   El signo importa: escribir $12(1-x)$ en su lugar ocultaría el valor de $h$.

3. 3

   Compara con la plantilla horizontal. Aquí la variable al cuadrado es $y$, así que la parábola abre hacia un lado y la forma es $(y-k)^2 = 4p(x-h)$. Escribiendo $(y-(-3))^2 = -12(x-1)$ resulta $h = 1$, $k = -3$ y $4p = -12$, de donde

   $p = -3$

   Como $p < 0$, la parábola abre hacia la izquierda.

4. 4

   Sitúa el vértice y el foco. El vértice es $(h,k) = (1,-3)$. Para una parábola horizontal el foco es $(h+p,\; k)$:

   $(1 + (-3),\, -3) = (-2, -3)$

5. 5

   Da el eje y la directriz. El eje de simetría es la recta horizontal que pasa por el vértice, $y = k = -3$. La directriz es la recta vertical $x = h - p = 1 - (-3) = 4$, tres unidades a la derecha del vértice, en el lado opuesto al foco, como tiene que ser.

6. 6

   Comprueba un punto con la definición. En $y = 3$ la ecuación da $(3+3)^2 = 36 = -12(x-1)$, así que $x = -2$ y $(-2, 3)$ está sobre la curva. Su distancia al foco $(-2,-3)$ es $6$, y su distancia a la directriz $x = 4$ es $|-2 - 4| = 6$. Las dos distancias coinciden.