Un trapecio isósceles tiene base menor 5, base mayor 11 y altura 6. Se inscribe en él un rectángulo con un lado sobre la base mayor y sus lados paralelos a las bases. ¿Cuál es la mayor área posible del rectángulo?

Step-by-step solution

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   Hallar cómo se estrecha el ancho del trapecio con la altura. Las bases se diferencian en $11-5=6$ y, por simetría, cada lado oblicuo se desplaza hacia dentro $\tfrac{6}{2}=3$ a lo largo de toda la altura de $6$. Así que el ancho es una función lineal de la altura $x$ sobre la base, y baja de $11$ en $x=0$ a $5$ en $x=6$:

   $w(x)=11-\frac{11-5}{6}\,x=11-x,\qquad 0\le x\le 6.$

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   Expresar el área del rectángulo con una sola variable. Sea $x$ la altura del rectángulo, con su base sobre la base mayor. Su lado superior queda a la altura $x$ y debe caber dentro del trapecio ahí, donde la figura es más estrecha — el ancho es decreciente, así que el lado superior es la restricción que manda. Por lo tanto, el rectángulo más ancho de este tipo tiene ancho $w(x)=11-x$ y área

   $A(x)=x(11-x)=11x-x^{2}.$

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   Maximizar la cuadrática. $A(x)=-x^{2}+11x$ es una parábola que abre hacia abajo, así que su máximo está en el vértice:

   $x=\frac{-b}{2a}=\frac{-11}{2(-1)}=\frac{11}{2}=5.5.$

   Este valor cae dentro del rango permitido $0\le x\le 6$, así que es un máximo genuino y no queda recortado por los extremos. (Completar el cuadrado da lo mismo: $A=\tfrac{121}{4}-\left(x-\tfrac{11}{2}\right)^{2}$.)

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   Calcular el área máxima.

   $A\!\left(\frac{11}{2}\right)=\frac{11}{2}\left(11-\frac{11}{2}\right)=\frac{11}{2}\cdot\frac{11}{2}=\frac{121}{4}=30.25.$

   El rectángulo óptimo resulta ser un cuadrado de lado $5.5$.

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   Revisar que la respuesta sea razonable. El propio trapecio tiene área $\tfrac{5+11}{2}\cdot 6=48$, así que el mejor rectángulo ocupa $\tfrac{30.25}{48}\approx 63\%$ de él — plausible. Al recorrer $A(x)=x(11-x)$ numéricamente sobre $[0,6]$ con paso $10^{-5}$ se obtiene un máximo de $30.25$ en $x=5.5$, lo que confirma el cálculo del vértice.