Dos hexágonos regulares tienen los lados en razón 3:5. El área del hexágono menor es de 81 metros cuadrados. ¿Cuál es el área del hexágono mayor? Elige entre 240, 125, 135 o 225 metros cuadrados.

Step-by-step solution

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   Observa que todos los hexágonos regulares son semejantes. Tener seis lados iguales y seis ángulos iguales fija la forma por completo, así que los dos hexágonos solo difieren en un factor de escala. Eso es lo que autoriza a usar las reglas de semejanza; no hace falta en absoluto la fórmula del área del hexágono $\tfrac{3\sqrt3}{2}s^2$.

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   Recuerda cómo se comporta el área al escalar. Si las longitudes se escalan por $k$, el área se escala por $k^2$, porque el área es un producto de dos longitudes. Aquí

   $k=\frac{\text{lado mayor}}{\text{lado menor}}=\frac{5}{3}\quad\Longrightarrow\quad \frac{A_{\text{grande}}}{A_{\text{pequeño}}}=k^{2}=\frac{25}{9}.$

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   Multiplica el área conocida por la razón al cuadrado.

   $A_{\text{grande}}=81\cdot\frac{25}{9}=9\cdot 25=225\ \text{m}^2.$

   El $9$ divide a $81$ de forma exacta, buena señal de que el problema se diseñó para esta ruta.

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   Confirma con la fórmula explícita. Para un hexágono regular de lado $s$, $A=\tfrac{3\sqrt3}{2}s^2$. De $81=\tfrac{3\sqrt3}{2}s^2$ se obtiene $s^2=\tfrac{162}{3\sqrt3}=\tfrac{54}{\sqrt3}$, y el lado mayor cumple $S=\tfrac53 s$, así que $S^2=\tfrac{25}{9}s^2$ y $A_{\text{grande}}=\tfrac{25}{9}\cdot 81=225$. La misma respuesta, con más trabajo.

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   Descarta los distractores. $135=81\cdot\tfrac53$ sale de escalar por la razón en vez de por su cuadrado: la trampa clásica. $125=5^3$ y $240$ no corresponden a nada del problema. La respuesta es $225\ \text{m}^2$.