Halla dónde corta la circunferencia (x − 0.5334)² + (y − 0.5334)² = 0.3475² a la recta (√3/3)·x − y = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Reescribe la recta con $y$ en función de $x$.

   $y=\frac{\sqrt3}{3}x=\frac{x}{\sqrt3}\approx 0.5773503\,x$

   La recta pasa por el origen con una inclinación de $30^\circ$, ya que su pendiente es $\tan 30^\circ$.

2. 2

   Sustituye en la ecuación de la circunferencia. Reemplazar $y$ convierte un sistema de dos variables en una sola cuadrática:

   $(x-0.5334)^2+\left(\frac{x}{\sqrt3}-0.5334\right)^2=0.3475^2$

   Desarrollando y agrupando por potencias de $x$ queda $Ax^2+Bx+C=0$ con

   $A=1+\frac13=\frac43,\qquad B=-2(0.5334)-\frac{2(0.5334)}{\sqrt3}=-1.6827173,\qquad C=2(0.5334)^2-0.3475^2=0.4482749$

3. 3

   Analiza el discriminante antes de resolver.

   $\Delta=B^2-4AC=2.8315374-2.3907993=0.4407381>0$

   Un discriminante positivo significa que la recta corta de verdad dos veces a la circunferencia; cero indicaría tangencia y negativo indicaría que la recta no la toca. Comprobar esto primero te dice cuántas respuestas esperar.

4. 4

   Resuelve la cuadrática.

   $x=\frac{1.6827173\pm\sqrt{0.4407381}}{2(4/3)}=\frac{1.6827173\pm 0.6638811}{2.6666667}$

   $x_1=0.879974,\qquad x_2=0.382064$

5. 5

   Recupera las coordenadas $y$ a partir de la recta.

   $y_1=0.5773503(0.879974)=0.508053,\qquad y_2=0.5773503(0.382064)=0.220585$

   así que los puntos de corte son $(0.8800,\,0.5081)$ y $(0.3821,\,0.2206)$.

6. 6

   Verifica que los dos puntos están sobre la circunferencia. Sustituyendo de vuelta, $(0.879974-0.5334)^2+(0.508053-0.5334)^2=0.120756=0.3475^2\;\checkmark$, y lo mismo vale para el segundo punto hasta doce decimales. Observa que redondear el primer punto a $(0.8806,\,0.5084)$ lo dejaría fuera de la circunferencia por unos $4\times 10^{-4}$.