En el triángulo ABC, AB = AC y D es el punto medio de BC. Demuestra que AD es perpendicular a BC.

Step-by-step solution

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   Enumera lo que se da y lo que exigirá la palabra «perpendicular». Se dan $AB=AC$ (el triángulo es isósceles con base $BC$) y $BD=DC$ (definición de punto medio). Para demostrar $AD\perp BC$ hay que mostrar que uno de los ángulos $\angle ADB$ o $\angle ADC$ mide $90^\circ$. El plan es demostrar que esos dos ángulos son iguales y luego usar que están sobre una misma recta, lo que obliga a que cada uno sea recto. Es un camino mucho más limpio que intentar calcular un ángulo de forma directa.

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   Compara los triángulos $ABD$ y $ACD$. El segmento $AD$ divide el triángulo original en dos triángulos más pequeños. Empareja sus elementos:

   $AB=AC\quad(\text{dato})$

   $BD=DC\quad(D\text{ es el punto medio de }BC)$

   $AD=AD\quad(\text{lado común})$

   Cada par coincide, así que se trata de tres lados contra tres lados.

3. 3

   Concluye la congruencia por LLL. Por el criterio lado-lado-lado,

   $\triangle ABD\cong\triangle ACD$

   LLL es la elección correcta aquí porque los tres datos son sobre longitudes; no se dio ninguna información angular, de modo que LAL o ALA exigirían una suposición adicional no demostrada.

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   Traslada la igualdad a los ángulos en $D$. Los elementos correspondientes de triángulos congruentes son iguales, y $\angle ADB$ en el primer triángulo se corresponde con $\angle ADC$ en el segundo:

   $\angle ADB=\angle ADC$

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   Usa la recta $BDC$ para fijar el valor en $90^\circ$. Como $D$ está entre $B$ y $C$ sobre el segmento $BC$, los dos ángulos forman un par lineal y son suplementarios:

   $\angle ADB+\angle ADC=180^\circ$

   Sustituyendo la igualdad del paso anterior, $2\angle ADB=180^\circ$, y por lo tanto

   $\angle ADB=\angle ADC=90^\circ\quad\Longrightarrow\quad AD\perp BC$

   Hacían falta los dos hechos: por sí solos, ni unos ángulos iguales dan $90^\circ$, ni tampoco lo dan unos ángulos suplementarios. Es la combinación la que cierra la demostración.

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   Verifica con una demostración por coordenadas. Coloca la base de forma simétrica: $B=(-b,0)$, $C=(b,0)$, de modo que $D=(0,0)$ es el punto medio. La condición $AB=AC$ obliga a que $A$ equidiste de $B$ y de $C$, es decir, $A=(0,h)$ para algún $h\neq0$. Entonces $\vec{DA}=(0,h)$ y $\vec{DC}=(b,0)$, y su producto escalar es

   $\vec{DA}\cdot\vec{DC}=0\cdot b+h\cdot0=0$

   Un producto escalar nulo significa que los segmentos son perpendiculares, lo que confirma la demostración sintética. Como extra, el mismo dibujo muestra que $AD$ es a la vez la mediana, la altura, la bisectriz desde $A$ y la mediatriz de $BC$: las cuatro coinciden exactamente cuando el triángulo es isósceles.