En el triángulo ABC el ángulo en C mide 14 grados y AD es la bisectriz del ángulo A, con el ángulo BAD igual a 28 grados. Halla el ángulo ADB en grados.

Step-by-step solution

1. 1

   Usa la bisectriz para recuperar el ángulo A completo. Una bisectriz divide $\angle A$ en dos partes iguales, y una de ellas está dada:

   $\angle BAD = \angle DAC = 28^{\circ} \quad\Longrightarrow\quad \angle A = 2 \times 28^{\circ} = 56^{\circ}$

   Ahí está toda la gracia del dato $28^{\circ}$: es un semiángulo, no el ángulo mismo.

2. 2

   Aplica la suma de los ángulos en el triángulo ABC.

   $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \quad\Longrightarrow\quad 56^{\circ} + \angle B + 14^{\circ} = 180^{\circ}$

   $\angle B = 110^{\circ}$

   El triángulo es obtusángulo en $B$, lo cual es coherente con que los dos ángulos dados sean pequeños.

3. 3

   Pasa al subtriángulo ABD. El punto $D$ está sobre el lado $BC$, así que el ángulo en $B$ dentro del triángulo $ABD$ es el mismo $\angle ABC = 110^{\circ}$: el rayo $BA$ y el rayo $BC$ (que contiene a $BD$) no cambian.

4. 4

   Cierra la suma de ángulos en el triángulo ABD.

   $\angle ADB = 180^{\circ} - \angle BAD - \angle ABD = 180^{\circ} - 28^{\circ} - 110^{\circ} = 42^{\circ}$

5. 5

   Comprueba con el otro subtriángulo. En el triángulo $ACD$: $\angle DAC = 28^{\circ}$ y $\angle C = 14^{\circ}$, así que $\angle ADC = 180^{\circ} - 42^{\circ} = 138^{\circ}$. Como $\angle ADB$ y $\angle ADC$ son suplementarios sobre la recta $BC$, resulta $\angle ADB = 180^{\circ} - 138^{\circ} = 42^{\circ}$: la misma respuesta por un camino independiente. (De forma equivalente, el teorema del ángulo exterior da directamente $\angle ADB = \angle DAC + \angle C = 28^{\circ} + 14^{\circ} = 42^{\circ}$.)