Un triángulo de vértices (2,3), (4,3) y (3,5) sufre la transformación (x, y) → (−x, −y). ¿Qué transformación es: una traslación, una reflexión respecto del eje y, una rotación de 180 grados alrededor del origen o una reflexión respecto del eje x?

Step-by-step solution

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   Comparar la regla con las reglas estándar. Cada transformación básica tiene su propia firma en coordenadas:

   $\text{reflejar respecto del eje }y\text{ (ordenadas)}:(x,y)\to(-x,y);\quad \text{reflejar respecto del eje }x\text{ (abscisas)}:(x,y)\to(x,-y)$

   $\text{rotar }180^{\circ}\text{ alrededor de }O:(x,y)\to(-x,-y);\quad \text{trasladar}:(x,y)\to(x+h,y+k)$

   La regla dada cambia de signo ambas coordenadas, lo que solo coincide con la tercera.

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   Descartar la traslación. Una traslación suma el mismo vector fijo a todos los puntos. Aquí $(2,3)\to(-2,-3)$ se desplaza en $(-4,-6)$ mientras que $(3,5)\to(-3,-5)$ se desplaza en $(-6,-10)$: vectores distintos, así que no es una traslación.

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   Descartar las dos reflexiones. Una reflexión respecto del eje $y$ dejaría $y$ sin cambio y enviaría $(2,3)$ a $(-2,3)$; una reflexión respecto del eje $x$ dejaría $x$ sin cambio y lo enviaría a $(2,-3)$. Ninguna coincide con la imagen real $(-2,-3)$.

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   Confirmar geométricamente el giro de media vuelta. Para cualquier punto $P=(x,y)$, su imagen $P'=(-x,-y)$ cumple: el origen es el punto medio de $PP'$, ya que $\tfrac{x+(-x)}{2}=0$ y $\tfrac{y+(-y)}{2}=0$; y $|OP'|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=|OP|$. Misma distancia, dirección opuesta: eso es precisamente una rotación de $180^{\circ}$ alrededor del origen.

   $\boxed{\text{C: una rotación de }180^{\circ}\text{ alrededor del origen, p. ej. }(2,3)\to(-2,-3)}$

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   Aplicarla a todo el triángulo y notar una propiedad. Los vértices imagen son $(-2,-3)$, $(-4,-3)$ y $(-3,-5)$. Un giro de media vuelta es un movimiento rígido que conserva longitudes y ángulos pero que, a diferencia de una reflexión, conserva la orientación: los vértices siguen recorriéndose en el mismo sentido de giro. Además es su propia inversa: aplicarla dos veces devuelve cada punto a su posición inicial.