En el triángulo ABC, AB = 30 cm, AC = 45 cm y BC = 50 cm. La bisectriz del ángulo A corta a BC en D. (a) Halla BD y CD. (b) Por D se traza DE paralela a AB con E en AC, y DF paralela a AC con F en AB. Halla DE y DF.

Step-by-step solution

1. 1

   Aplica el teorema de la bisectriz. Una bisectriz interior desde $A$ divide al lado opuesto en la razón de los dos lados adyacentes:

   $\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}=\frac{30}{45}=\frac{2}{3}$

   Fíjate en que no es la razón de los otros dos lados, ni tampoco un punto medio: la bisectriz cae más cerca del lado más corto.

2. 2

   Convierte la razón en longitudes. Escribe $BD=2x$ y $CD=3x$. Como $D$ está en el segmento $BC$, las dos partes suman el total:

   $2x+3x=50\quad\Longrightarrow\quad 5x=50\quad\Longrightarrow\quad x=10$

   así que

   $BD=20\ \text{cm},\qquad CD=30\ \text{cm}$

   Comprobación: $20+30=50$ ✓ y $20:30=2:3$ ✓.

3. 3

   Halla DE con triángulos semejantes. Como $DE\parallel AB$, los ángulos en $D$ y $E$ del $\triangle CDE$ coinciden con los de $B$ y $A$ del $\triangle CBA$ (ángulos correspondientes), así que $\triangle CDE\sim\triangle CBA$. Emparejando $DE$ con $AB$ y $CD$ con $CB$:

   $\frac{DE}{AB}=\frac{CD}{CB}\quad\Longrightarrow\quad \frac{DE}{30}=\frac{30}{50}\quad\Longrightarrow\quad DE=18\ \text{cm}$

   La clave está en emparejar $DE$ con $AB$ (los dos opuestos al ángulo homólogo del vértice $C$), no con $AC$.

4. 4

   Halla DF igual, pero desde el otro vértice. Como $DF\parallel AC$, resulta $\triangle BDF\sim\triangle BCA$, así que

   $\frac{DF}{AC}=\frac{BD}{BC}\quad\Longrightarrow\quad \frac{DF}{45}=\frac{20}{50}\quad\Longrightarrow\quad DF=18\ \text{cm}$

5. 5

   Explica por qué DE y DF salen iguales. Los dos valen $18$ cm, y no es casualidad. Con $DE\parallel AB$ y $DF\parallel AC$, el cuadrilátero $AFDE$ es un paralelogramo, así que $AF=DE$ y $AE=DF$. Pero $AD$ biseca el ángulo $A$ y además es una diagonal de ese paralelogramo, lo que obliga a que los dos lados adyacentes sean iguales: el paralelogramo es un rombo, y por eso $DE=DF$. Algebraicamente, $AB\cdot\frac{CD}{BC}=AC\cdot\frac{BD}{BC}$ se cumple justamente porque $\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$.

6. 6

   Verifica con coordenadas. Colocando $A=(0,0)$, $B=(30,0)$ y $C$ en el punto que cumple $AC=45$, $BC=50$, y situando después $D$ a $\tfrac{20}{50}$ del camino de $B$ a $C$: las distancias calculadas son $BD=20.000$, $CD=30.000$, la recta $AD$ forma ángulos iguales con $AB$ y $AC$, y las dos paralelas dan $DE=18.000$ y $DF=18.000$ ✓.