Un triángulo rectángulo isósceles tiene vértices (0,0), (4,0) y (0,4). Un círculo de radio 2 está centrado en (2,2). Halla el área común a ambos.

Step-by-step solution

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   Escribe las dos regiones como desigualdades. El triángulo es $x\ge0$, $y\ge0$, $x+y\le4$; el disco es

   $(x-2)^2+(y-2)^2\le 4$

   El solape es el conjunto que cumple las cuatro condiciones a la vez, así que hay que examinar por separado cada una de las tres restricciones del triángulo frente al disco.

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   Comprueba la restricción de la hipotenusa. El centro $(2,2)$ cumple $2+2=4$, así que el centro está exactamente sobre la recta $x+y=4$. Una recta que pasa por el centro de una circunferencia contiene un diámetro y parte el disco en dos mitades congruentes.

   $\text{área del disco con }x+y\le4=\tfrac12\pi(2)^2=2\pi$

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   Comprueba las dos restricciones de los catetos. La distancia de $(2,2)$ al eje $x$ es $2$, y al eje $y$ también es $2$: las dos iguales al radio. Por tanto la circunferencia es tangente a cada eje (los toca en $(2,0)$ y en $(0,2)$) y no llega a cruzar ninguno.

   Así que el disco queda por completo dentro de $x\ge0,\ y\ge0$ y los catetos no le quitan nada.

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   Reúne las tres comprobaciones. Solo la hipotenusa corta el disco, y lo parte por la mitad. La intersección es exactamente el medio disco del lado $x+y\le4$:

   $\text{Área}=\tfrac12\cdot\pi r^2=\tfrac12\cdot 4\pi=2\pi$

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   Contrasta el orden de magnitud. El triángulo tiene área $\tfrac12(4)(4)=8$ y el disco completo, $4\pi\approx12.57$. El solape $2\pi\approx6.283$ es menor que ambos, y menor que la mitad del triángulo, lo que encaja con un medio disco apoyado contra la hipotenusa ✓.