Halla la longitud del segmento AB, donde A es (−1, 1) y B es (4, 6). Después halla el punto medio del segmento que une (4, 1) y (16, −1).

Step-by-step solution

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   Tener claras las dos fórmulas. Se parecen, pero hacen cosas opuestas:

   $d=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}\quad(\text{restar y luego elevar al cuadrado}),$
   $M=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)\quad(\text{sumar y luego dividir entre dos}).$

   La distancia usa diferencias y es inmune a los signos; el punto medio usa sumas, así que un negativo mal tratado cambia la respuesta.

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   Apartado (1): calcular las diferencias.

   $x_2-x_1=4-(-1)=5,\qquad y_2-y_1=6-1=5.$

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   Apartado (1): aplicar la fórmula de la distancia y simplificar el radical.

   $AB=\sqrt{5^{2}+5^{2}}=\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}\approx 7.071.$

   Que las diferencias sean iguales significa que el segmento forma un ángulo de $45^\circ$ con los ejes, y por eso la respuesta es un múltiplo limpio de $\sqrt2$.

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   Apartado (2): promediar las coordenadas x.

   $\frac{4+16}{2}=\frac{20}{2}=10.$

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   Apartado (2): promediar las coordenadas y, con cuidado con el negativo.

   $\frac{1+(-1)}{2}=\frac{0}{2}=0.$

   Así que el punto medio es $M(10,0)$, sobre el eje $x$, lo cual tiene sentido porque los dos puntos están colocados simétricamente, uno una unidad por encima y otro una unidad por debajo.

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   Comprobar el punto medio con distancias. De $(4,1)$ a $(10,0)$ hay $\sqrt{36+1}=\sqrt{37}$, y de $(10,0)$ a $(16,-1)$ hay igualmente $\sqrt{36+1}=\sqrt{37}$. Distancias iguales confirman que $M$ es de verdad el punto medio.