Halla la distancia entre los puntos A(−1, 1) y B(1, 6), y la distancia entre C(5, 0) y D(4, 2); después di qué segmento es más largo.

Step-by-step solution

1. 1

   Escribe la fórmula de la distancia y fíjate en por qué los signos no importan. Para los puntos $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$,

   $d=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}.$

   Las dos diferencias van al cuadrado, así que restar en el otro orden da la misma distancia: una tranquilidad útil cuando alguna coordenada es negativa.

2. 2

   Calcula las diferencias para A y B.

   $x_2-x_1=1-(-1)=2,\qquad y_2-y_1=6-1=5.$

   El doble signo negativo es el único lugar donde se cuela un error de signo: $1-(-1)$ es $2$, no $0$.

3. 3

   Halla AB.

   $AB=\sqrt{2^{2}+5^{2}}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}\approx 5.385.$

   $29$ es primo, así que el radical no se puede simplificar.

4. 4

   Calcula las diferencias para C y D, y luego halla CD.

   $x_2-x_1=4-5=-1,\qquad y_2-y_1=2-0=2,$
   $CD=\sqrt{(-1)^{2}+2^{2}}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\approx 2.236.$

   La diferencia negativa desaparece al elevarla al cuadrado, como se prometió.

5. 5

   Compara. $\sqrt{29}>\sqrt{5}$ porque $29>5$ y la raíz cuadrada es creciente, así que $AB$ es el segmento más largo, unas $2.4$ veces más largo.

6. 6

   Comprueba con la imagen pitagórica. $AB$ es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos $2$ y $5$; $CD$ es la hipotenusa de otro de catetos $1$ y $2$. La fórmula de la distancia no es más que el teorema de Pitágoras aplicado a esos catetos.