En el triángulo ABC, las bisectrices AE y BD se cortan en O. Dados AB = 12 cm, OA/OE = 3/2 y AD/DC = 6/7, hallar AC.

Step-by-step solution

1. 1

   Usar la primera bisectriz para obtener BC. $BD$ biseca el ángulo $B$ y corta a $AC$ en $D$, así que el teorema de la bisectriz en el triángulo $ABC$ da la razón de los lados adyacentes a B:

   $\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}\quad\Longrightarrow\quad \frac{6}{7}=\frac{12}{BC}\quad\Longrightarrow\quad BC=14\ \text{cm}$

   Acertar con la correspondencia importa: $AD$ es adyacente a $AB$, y $DC$ a $BC$.

2. 2

   Encontrar el truco para la segunda condición. La razón $\dfrac{OA}{OE}$ se mide a lo largo del segmento $AE$, y $O$ es donde $BD$ lo cruza. Como $BD$ biseca el ángulo $B$, el segmento $BO$ es la bisectriz del ángulo $B$ dentro del triángulo $ABE$, porque $A$, $O$, $E$ son colineales. Aplicando el teorema de la bisectriz a ese triángulo más pequeño:

   $\frac{OA}{OE}=\frac{BA}{BE}$

   Esta única observación es lo que vuelve resoluble el problema con herramientas escolares en lugar de coordenadas.

3. 3

   Expresar BE en función de la incógnita AC. $AE$ biseca el ángulo $A$, así que en el triángulo $ABC$ se tiene $\dfrac{BE}{EC}=\dfrac{AB}{AC}$. Con $BE+EC=BC=14$:

   $BE=BC\cdot\frac{AB}{AB+AC}=\frac{14\cdot12}{12+AC}=\frac{168}{12+AC}$

4. 4

   Sustituir en la razón dada y despejar.

   $\frac{OA}{OE}=\frac{AB}{BE}=\frac{12}{\dfrac{168}{12+AC}}=\frac{12\,(12+AC)}{168}=\frac{12+AC}{14}$

   Igualando esto a $\tfrac32$:

   $\frac{12+AC}{14}=\frac{3}{2}\quad\Longrightarrow\quad 12+AC=21\quad\Longrightarrow\quad AC=9\ \text{cm}$

5. 5

   Revisar que el triángulo sea posible. Con $AB=12$, $BC=14$, $AC=9$ se cumplen todas las desigualdades triangulares: $12+9=21>14$, $12+14>9$, $9+14>12$ ✓. Así que los datos describen un triángulo genuino y no uno degenerado.

6. 6

   Verificar por separado las dos razones dadas. Con $AC=9$: $BE=\frac{14\cdot12}{21}=8$, de modo que $\frac{AB}{BE}=\frac{12}{8}=\frac32$ ✓, que coincide con $\frac{OA}{OE}$. Y $\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}=\frac{12}{14}=\frac67$ ✓. Construir el triángulo en coordenadas e intersecar explícitamente las dos bisectrices da $OA/OE=1.500000$ y $AD/DC=0.857143=\tfrac67$ ✓.