¿La siguiente afirmación es verdadera o falsa? Si tres ángulos de un triángulo son respectivamente iguales a tres ángulos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.

Step-by-step solution

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   Separa las dos ideas que la afirmación confunde. Congruentes significa idénticos en forma y en tamaño: uno se puede superponer exactamente sobre el otro. Semejantes significa idénticos solo en forma, con todos los lados escalados por el mismo factor. Los ángulos por sí solos nunca pueden controlar más que la forma.

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   Recuerda cuáles son los criterios de congruencia reales. Todo criterio válido contiene al menos un lado: LLL, LAL, ALA, AAL y el criterio hipotenusa-cateto para triángulos rectángulos. Deliberadamente no existe un criterio AAA, y esa ausencia es justamente el punto de esta pregunta.

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   Construye un contraejemplo. El triángulo de lados $3,4,5$ y el triángulo de lados $6,8,10$ tienen exactamente los mismos tres ángulos (los dos son rectángulos y cada lado del segundo es el doble del lado correspondiente del primero). Sus áreas son $6$ y $24$, así que desde luego no son congruentes.

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   Explica por qué los ángulos no pueden fijar el tamaño. Fijar los tres ángulos fija solo dos cantidades independientes, ya que el tercer ángulo queda forzado por $A+B+C=180^\circ$. Un triángulo necesita tres mediciones independientes para quedar determinado salvo congruencia, y al menos una de ellas debe aportar una longitud.

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   Enuncia la versión correcta. Los ángulos iguales sí dan un teorema genuino: el criterio de semejanza AA (o AAA), según el cual los triángulos son semejantes y sus lados son proporcionales. La congruencia se sigue solo si además se sabe que un par de lados correspondientes son iguales. Por tanto, la afirmación tal como está escrita es falsa.