En el triángulo ABC, AF es la altura sobre BC y AD es la bisectriz del ángulo BAC. Si el ángulo B = 36 grados y el ángulo C = 76 grados, hallar los tres ángulos del triángulo ADF.

Step-by-step solution

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   Hallar el ángulo del vértice superior. Los ángulos del $\triangle ABC$ suman $180^{\circ}$:

   $\angle A=180^{\circ}-36^{\circ}-76^{\circ}=68^{\circ}$

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   Usar la altura para obtener ∠BAF. En el triángulo rectángulo $ABF$ el ángulo en $F$ mide $90^{\circ}$, así que

   $\angle BAF=90^{\circ}-\angle B=90^{\circ}-36^{\circ}=54^{\circ}$

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   Usar la bisectriz para obtener ∠BAD.

   $\angle BAD=\frac{\angle A}{2}=\frac{68^{\circ}}{2}=34^{\circ}$

   Como $34^{\circ}<54^{\circ}$, el rayo $AD$ queda entre $AB$ y $AF$, de modo que $D$ está entre $B$ y $F$ sobre la base.

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   Restar para obtener el ángulo en A del triángulo ADF.

   $\angle DAF=\angle BAF-\angle BAD=54^{\circ}-34^{\circ}=20^{\circ}$

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   Leer los otros dos ángulos. $AF\perp BC$ y $D$ está sobre $BC$, así que

   $\angle AFD=90^{\circ}$

   y los ángulos del $\triangle ADF$ tienen que sumar $180^{\circ}$:

   $\angle ADF=180^{\circ}-20^{\circ}-90^{\circ}=70^{\circ}$

   $\boxed{\angle DAF=20^{\circ},\ \angle AFD=90^{\circ},\ \angle ADF=70^{\circ}}$

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   Verificar ∠ADF por otra vía, con el triángulo ABD. En el $\triangle ABD$: $\angle ABD=36^{\circ}$ y $\angle BAD=34^{\circ}$, así que $\angle ADB=110^{\circ}$. Como $B$, $D$, $F$ son colineales, $\angle ADF=180^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ}$ ✓, lo mismo que por el primer camino.

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   Observar la regla general que esto ilustra. El ángulo entre la altura y la bisectriz trazadas desde un mismo vértice es siempre la mitad de la diferencia de los otros dos ángulos: $\tfrac12\left(\angle C-\angle B\right)=\tfrac12(76^{\circ}-36^{\circ})=20^{\circ}$, es decir exactamente $\angle DAF$. Desconfía de las soluciones que dan para $\angle AFD$ un valor distinto de $90^{\circ}$: el pie de una altura obliga a que ahí haya un ángulo recto.