Halla la distancia del punto (3, 1, 2) al punto (1, 4, -1).

Step-by-step solution

1. 1

   Usa la fórmula de la distancia en tres dimensiones. Es el teorema de Pitágoras aplicado dos veces —una en el plano horizontal y otra en la vertical—, y por eso un tercer término al cuadrado simplemente se suma a los otros dos:

   $d=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}+\left(z_{2}-z_{1}\right)^{2}}$

2. 2

   Calcula las tres diferencias de coordenadas. Restando en un orden consistente (segundo punto menos primero):

   $\Delta x=1-3=-2,\qquad \Delta y=4-1=3,\qquad \Delta z=-1-2=-3$

   Al final el orden no importa, porque cada diferencia se va a elevar al cuadrado; lo que sí importa es no mezclar el orden entre una coordenada y otra.

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   Eleva al cuadrado cada diferencia.

   $(-2)^{2}=4,\qquad 3^{2}=9,\qquad (-3)^{2}=9$

   Observa que $(-3)^{2}=+9$: elevar al cuadrado es lo que hace que la distancia no dependa de la dirección.

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   Suma y extrae la raíz cuadrada.

   $d=\sqrt{4+9+9}=\sqrt{22}$

   Como $22=2\times 11$ no tiene ningún factor cuadrado, $\sqrt{22}$ no se puede simplificar más.

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   Da el decimal y verifícalo. $\sqrt{22}\approx 4.6904$. Como comprobación, la mayor separación en una sola coordenada es $3$, y la distancia debe superarla pero quedar por debajo de $2+3+3=8$; $4.69$ cae cómodamente en esa ventana ✓.