En un cuadrilátero convexo ABCD, AB = BC y AD = CD. El ángulo B mide 58 grados y el ángulo D mide 136 grados. Halla el ángulo A en grados.

Step-by-step solution

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   Reconoce la figura a partir de las dos condiciones de lados iguales. Dos pares de lados iguales adyacentes ($AB=BC$ y $AD=CD$) hacen de $ABCD$ una cometa (deltoide). Por qué importa: tanto $B$ como $D$ equidistan de $A$ y de $C$, así que los dos están sobre la mediatriz de $AC$. Eso convierte la diagonal $BD$ en eje de simetría.

2. 2

   Usa la simetría para concluir que $\angle A = \angle C$. Reflejar respecto de la recta $BD$ intercambia $A$ y $C$ y deja fijos $B$ y $D$, así que el ángulo en $A$ se lleva sobre el ángulo en $C$. Por lo tanto

   $\angle A = \angle C$

   Este único hecho es lo que convierte un problema de cuatro incógnitas en uno de una sola.

3. 3

   Aplica la suma de los ángulos de un cuadrilátero. Los ángulos interiores de todo cuadrilátero suman $360^\circ$:

   $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$

4. 4

   Sustituye los ángulos conocidos y la igualdad. Escribiendo $\angle C$ como $\angle A$:

   $2\angle A + 58^\circ + 136^\circ = 360^\circ$

   $2\angle A = 360^\circ - 194^\circ = 166^\circ$

   $\angle A = 83^\circ$

5. 5

   Contrasta el resultado partiendo la figura por la diagonal $AC$. El triángulo $ABC$ es isósceles con ángulo $58^\circ$ en el vértice, así que sus ángulos de la base valen $\tfrac{180^\circ-58^\circ}{2}=61^\circ$, de donde $\angle BAC = 61^\circ$. El triángulo $ACD$ es isósceles con $136^\circ$ en el vértice, así que $\angle DAC = \tfrac{180^\circ-136^\circ}{2}=22^\circ$. Entonces $\angle A = 61^\circ + 22^\circ = 83^\circ$, que coincide.