Los cinco ángulos exteriores de un pentágono convexo están en la razón 1 : 2 : 3 : 4 : 5. Halla los cinco ángulos interiores y la razón entre ellos.

Step-by-step solution

1. 1

   Partir de los ángulos exteriores, no de los interiores, porque su suma es el dato que no depende del número de lados. Al recorrer una vez cualquier polígono convexo giras una vuelta completa, de modo que

   $\text{suma de los ángulos exteriores}=360^\circ$

   lo mismo para un triángulo, un pentágono o un polígono de cien lados. Esa única constante es lo que vuelve utilizable la razón dada.

2. 2

   Introducir un factor de escala y resolver. Escribe los ángulos exteriores como $k,2k,3k,4k,5k$. Entonces

   $k+2k+3k+4k+5k=15k=360^\circ$

   $k=24^\circ$

3. 3

   Enumerar los ángulos exteriores.

   $24^\circ,\quad 48^\circ,\quad 72^\circ,\quad 96^\circ,\quad 120^\circ$

   Los cinco son positivos y menores que $180^\circ$, así que un pentágono convexo con estos ángulos es geométricamente posible.

4. 4

   Convertir cada ángulo exterior en su ángulo interior. En cada vértice el ángulo interior y el exterior forman un ángulo llano, así que son suplementarios:

   $\text{interior}=180^\circ-\text{exterior}$

   $180-24=156^\circ,\quad 180-48=132^\circ,\quad 180-72=108^\circ,\quad 180-96=84^\circ,\quad 180-120=60^\circ$

5. 5

   Contrastar con la suma de los ángulos interiores. En un polígono de $n$ lados los ángulos interiores suman $(n-2)\cdot180^\circ$, aquí $(5-2)\cdot180^\circ=540^\circ$:

   $156+132+108+84+60=540\;\checkmark$

   Esta es una confirmación independiente, ya que usa una fórmula que nunca entró en el cálculo.

6. 6

   Reducir los ángulos interiores a una razón. Dividiendo $156:132:108:84:60$ entre su factor común $12$ resulta

   $13:11:9:7:5.$

   Fíjate en que la razón no es $5:4:3:2:1$: restar de $180^\circ$ no es una operación proporcional, así que una razón en progresión aritmética de los ángulos exteriores se convierte en otra razón, distinta, también en progresión aritmética de los interiores. Esa trampa es el objetivo del problema.