Un polígono tiene 14 diagonales. ¿Cuántos lados tiene? Además, ¿en qué polígono la suma de los ángulos interiores es igual a la suma de los ángulos exteriores?

Step-by-step solution

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   Deducir el conteo de diagonales en lugar de memorizarlo. Desde cada uno de los $n$ vértices se puede trazar un segmento hacia otros $n-3$ (excluyendo el propio vértice y sus dos vecinos, que dan lados y no diagonales). Eso cuenta cada diagonal dos veces, una por cada extremo:

   $D=\frac{n(n-3)}{2}.$

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   Igualar el conteo a 14 y resolver.

   $\frac{n(n-3)}{2}=14\ \Longrightarrow\ n^{2}-3n-28=0\ \Longrightarrow\ (n-7)(n+4)=0.$

   Las raíces son $n=7$ y $n=-4$; un polígono no puede tener un número negativo de lados, así que

   $n=7\quad(\text{un heptágono}).$

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   Comprobarlo. Un heptágono tiene $\tfrac{7\times 4}{2}=14$ diagonales ✓.

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   Recordar los dos hechos sobre sumas de ángulos para la parte (2). Para cualquier polígono convexo de $n$ lados,

   $\text{suma interior}=(n-2)\cdot 180^\circ,\qquad \text{suma exterior}=360^\circ.$

   La suma exterior es la llamativa: vale $360^\circ$ para todos los polígonos, sin importar cuántos lados tengan — recorrer la figura una vez equivale a girar una vuelta completa.

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   Igualar las dos sumas.

   $(n-2)\cdot 180=360\ \Longrightarrow\ n-2=2\ \Longrightarrow\ n=4.$

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   Enunciar ambas respuestas con su comprobación. El polígono con $14$ diagonales tiene $7$ lados, y el polígono cuyas sumas de ángulos interiores y exteriores coinciden es el cuadrilátero: sus ángulos interiores suman $(4-2)180=360^\circ$, que coincide con el total exterior universal de $360^\circ$ ✓. Nótese además que agregar un lado deja intacta la suma exterior mientras eleva la interior en $180^\circ$.