Dos hojas cuadradas congruentes tienen cada una una diagonal de 14 cm. Se superponen de modo que la región común es un cuadrado. Si el área total cubierta es de 160 centímetros cuadrados, halla el lado del solapamiento.

Step-by-step solution

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   Obtén el área de una hoja a partir de su diagonal. Para un cuadrado de diagonal $d$, el lado es $\tfrac{d}{\sqrt2}$, así que el área es

   $A=\left(\frac{d}{\sqrt2}\right)^2=\frac{d^2}{2}$

   Con $d=14$:

   $A=\frac{196}{2}=98\ \text{cm}^2$

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   Suma las dos hojas, contando el solapamiento dos veces. Al poner una hoja sobre la otra, la suma de sus áreas es

   $98+98=196\ \text{cm}^2$

   pero la región donde se solapan quedó contada dentro de las dos hojas.

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   Usa inclusión-exclusión para aislar el solapamiento. El área realmente cubierta es la unión:

   $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$

   $160=196-|A\cap B|\quad\Longrightarrow\quad|A\cap B|=36\ \text{cm}^2$

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   Convierte el área del solapamiento en una longitud de lado. El enunciado dice que el solapamiento es un cuadrado, así que su lado es la raíz cuadrada de su área:

   $s=\sqrt{36}=6\ \text{cm}$

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   Comprueba que la geometría es coherente. Cada hoja tiene lado $\tfrac{14}{\sqrt2}\approx 9.9$ cm, y el lado del solapamiento, $6$ cm, es menor que eso, como tiene que ser $\checkmark$. Yendo hacia atrás: $196-36=160$ $\checkmark$.