Dos vértices consecutivos de un cuadrado son A(2, −1) y B(−1, 3). Determina las coordenadas de los otros dos vértices.

Step-by-step solution

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   Convierte el lado dado en un vector. Como $A$ y $B$ son vértices consecutivos, el segmento $AB$ es un lado completo del cuadrado, no una diagonal. Su vector es

   $\overrightarrow{AB}=B-A=(-1-2,\;3-(-1))=(-3,\,4),$

   con longitud $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-3)^2+4^2}=5$. Así que el cuadrado tiene lado $5$.

2. 2

   Gira ese vector 90° para obtener el lado adyacente. En un cuadrado, los lados consecutivos son perpendiculares y de igual longitud — exactamente lo que produce un giro de $90^\circ$. Girar $(x,y)$ en sentido antihorario da $(-y,x)$ y en sentido horario da $(y,-x)$, así que a partir de $(-3,4)$ los dos candidatos son

   $(-4,-3)\qquad\text{y}\qquad(4,3),$

   ambos de longitud $5$. Dos giros significan dos cuadrados válidos, uno a cada lado de $AB$ — el problema, tal como está planteado, tiene dos respuestas, y dar solo una queda incompleto.

3. 3

   Caso 1: traslada según $(4,3)$. Sumar este vector a cada vértice dado desplaza el lado $AB$ hasta el lado opuesto del cuadrado:

   $D=A+(4,3)=(6,2),\qquad C=B+(4,3)=(3,6).$

   El cuadrado es $A(2,-1)$, $B(-1,3)$, $C(3,6)$, $D(6,2)$.

4. 4

   Caso 2: traslada según $(-4,-3)$. Usar el giro opuesto da el cuadrado simétrico:

   $D=A+(-4,-3)=(-2,-4),\qquad C=B+(-4,-3)=(-5,0).$

   El cuadrado es $A(2,-1)$, $B(-1,3)$, $C(-5,0)$, $D(-2,-4)$.

5. 5

   Verifica los dos cuadrados. En cada caso los cuatro lados miden $5$, y las dos diagonales miden $5\sqrt{2}\approx 7.071$ — que las diagonales sean iguales y valgan lado$\times\sqrt2$ es lo que distingue un cuadrado de un rombo. El producto escalar $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=0$ en ambos casos confirma los ángulos rectos.