En el rectángulo ABCD el triángulo BCD tiene área 8 y el lado BC mide 4√2. Hallar el perímetro del rectángulo.

Step-by-step solution

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   Relacionar el triángulo con el rectángulo. $BD$ es una diagonal del rectángulo, y una diagonal corta el rectángulo en dos triángulos rectángulos congruentes. Así que $\triangle BCD$ es exactamente la mitad del rectángulo:

   $[ABCD]=2\times 8=16$

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   Hallar el lado desconocido. Con $BC=4\sqrt2$ como uno de los lados,

   $CD=\frac{16}{4\sqrt2}=\frac{4}{\sqrt2}$

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   Racionalizar. Se multiplica numerador y denominador por $\sqrt2$:

   $CD=\frac{4\sqrt2}{2}=2\sqrt2$

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   Sumar el perímetro.

   $P=2\left(4\sqrt2+2\sqrt2\right)=2\left(6\sqrt2\right)=12\sqrt2$

   $\boxed{12\sqrt2\approx 16.97}$

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   Comprobar el área a partir de los dos lados. $4\sqrt2\times 2\sqrt2=8\cdot 2=16$ ✓, de modo que el triángulo vale $8$ ✓. Otra vía es calcular el triángulo directamente: $\tfrac12(4\sqrt2)(2\sqrt2)=\tfrac12(16)=8$ ✓ — lo que confirma tanto el paso de la mitad como la racionalización.