Halla la distancia entre el punto (1, 4) y la recta (0,0) + a*(3, 1).

Step-by-step solution

1. 1

   Escribe la distancia a un punto genérico de la recta. Un punto de $\ell$ es $(3a,a)$, de modo que

   $d(a)=\sqrt{(1-3a)^2+(4-a)^2}=\sqrt{1-6a+9a^2+16-8a+a^2}=\sqrt{10a^2-14a+17}$

   Esta función responde a «a qué distancia está $P$ del punto de parámetro $a$»; la distancia a la recta es su valor mínimo.

2. 2

   Minimiza la cuadrática que queda bajo la raíz. La raíz cuadrada es creciente, así que minimizar $d(a)$ es lo mismo que minimizar $q(a)=10a^2-14a+17$, cuyo vértice está en

   $a=-\frac{-14}{2(10)}=\frac{14}{20}=0.7$

   Es el mismo $a$ que daría la proyección perpendicular: $\tfrac{\mathbf p\cdot\mathbf d}{\mathbf d\cdot\mathbf d}=\tfrac{3+4}{10}=0.7$.

3. 3

   Evalúa en el vértice.

   $q(0.7)=10(0.49)-14(0.7)+17=4.9-9.8+17=12.1\;\Longrightarrow\;d=\sqrt{12.1}\approx 3.4785$

4. 4

   Confirma con el atajo del producto cruz en 2D. En el plano, la distancia de $P$ a una recta que pasa por el origen con dirección $\mathbf d=(3,1)$ es

   $d=\frac{\left|p_xd_y-p_yd_x\right|}{\|\mathbf d\|}=\frac{|1\cdot 1-4\cdot 3|}{\sqrt{10}}=\frac{11}{\sqrt{10}}\approx 3.4785$

   y en efecto $\left(\tfrac{11}{\sqrt{10}}\right)^2=\tfrac{121}{10}=12.1\;\checkmark$, que coincide exactamente con la cuadrática minimizada.

5. 5

   Enuncia la respuesta con cuidado. Si la pregunta se refiere a la distancia a toda la recta, la respuesta es

   $d=\frac{11}{\sqrt{10}}=\frac{11\sqrt{10}}{10}\approx 3.4785$

   Si en cambio se busca un parámetro $a$ concreto, la distancia es la función $\sqrt{10a^2-14a+17}$, que vale $\sqrt{17}\approx 4.12$ en $a=0$ y crece sin límite cuando $|a|\to\infty$.