En el triángulo rectángulo ABC el ángulo en C mide 90 grados, AC = 6 y BC = 8. El punto P se mueve por BC sin coincidir con B ni con C, y PC = x. Expresa el área y del triángulo APB en función de x e indica el intervalo de variación de x.

Step-by-step solution

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   Elige la base de modo que la altura ya sea conocida. Tanto $P$ como $B$ están sobre el segmento $BC$, así que toma $PB$ como base del triángulo $APB$. Como $\angle C=90^\circ$, el cateto $AC$ es perpendicular a la recta $BC$ y, por tanto, perpendicular a $PB$ sea cual sea la posición de $P$. La altura es la constante

   $h=AC=6.$

   Esta es toda la idea del problema: el punto móvil cambia la base pero nunca la altura.

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   Escribe la base en función de x. $P$ está entre $C$ y $B$ con $PC=x$ y $CB=8$, así que

   $PB=BC-PC=8-x.$

3. 3

   Aplica la fórmula del área del triángulo.

   $y=\frac{1}{2}\cdot PB\cdot AC=\frac{1}{2}(8-x)(6)=3(8-x).$

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   Desarrolla hasta la forma lineal que se pide.

   $y=24-3x.$

   El área disminuye a un ritmo constante de $3$ unidades cuadradas por cada unidad que $P$ se desliza hacia $B$, que es justo el aspecto que debe tener una relación lineal.

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   Determina el intervalo de x a partir de la geometría, no de la fórmula. $P$ está sobre el segmento $BC$ y no coincide con ninguno de sus extremos, así que $PC$ está estrictamente entre $0$ (en $C$) y $8$ (en $B$):

   $0<x<8.$

   Los dos extremos quedan excluidos, y por eso $y$ tampoco alcanza nunca sus valores extremos $24$ o $0$: en $x=8$ los tres puntos serían colineales y no habría triángulo alguno.