Un cuadrilátero cíclico ABCD tiene una recta tangente l a su circunferencia circunscrita en A. La recta l corta a la recta CD en P, con AD = 3, DP = 8 y PA = 10. Halla la longitud de CD.

Step-by-step solution

1. 1

   Identifica la configuración en P. Desde el punto exterior $P$ parten dos rectas hacia la circunferencia: la tangente $PA$, que la toca en $A$, y la secante que pasa por $D$ y por $C$. Ese es exactamente el escenario del teorema de la tangente y la secante (potencia de un punto).

2. 2

   Enuncia el teorema. La potencia de $P$ respecto de la circunferencia se puede calcular de dos maneras, lo que da

   $PA^{2}=PD\cdot PC$

   donde $PD$ y $PC$ son las distancias de $P$ a los puntos de corte cercano y lejano de la secante. Fíjate en que la longitud de la tangente va al cuadrado y en que la secante aporta el producto completo, no $PD\cdot DC$.

3. 3

   Sustituye las longitudes dadas.

   $10^{2}=8\cdot PC\quad\Longrightarrow\quad 100=8\,PC\quad\Longrightarrow\quad PC=\frac{100}{8}=\frac{25}{2}=12.5$

4. 4

   Resta para obtener la cuerda. Como $D$ está entre $P$ y $C$ sobre la secante,

   $CD=PC-PD=\frac{25}{2}-8=\frac{25}{2}-\frac{16}{2}=\frac92=4.5$

   $\boxed{CD=\dfrac92}$

5. 5

   Comprueba la coherencia. Con $PD=8<PC=12.5$, el punto $D$ es en efecto el corte más cercano, tal como se supuso. Además $PA=10$ queda estrictamente entre $PD=8$ y $PC=12.5$, algo que el teorema obliga: $PA=\sqrt{PD\cdot PC}$ es la media geométrica de ambos, y una media geométrica siempre se sitúa entre los dos números. El dato $AD=3$ no hace falta en este apartado: pertenece a las partes posteriores del problema.

6. 6

   Usa la desigualdad triangular como comprobación adicional. En el triángulo $APD$ los lados son $PA=10$, $PD=8$ y $AD=3$: $8+3=11>10$ ✓, así que ese triángulo existe y la configuración es coherente.