Dos hojas cuadradas congruentes tienen cada una una diagonal de 28 cm. Se solapan en una región cuadrada. Si el área total cubierta es de 720 cm², hallar el lado del solapamiento.

Step-by-step solution

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   Hallar el área de una hoja a partir de la diagonal.

   $A=\frac{d^2}{2}=\frac{28^2}{2}=\frac{784}{2}=392\ \text{cm}^2$

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   Sumar las dos hojas. Así la región de solapamiento queda contada dos veces:

   $392+392=784\ \text{cm}^2$

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   Aplicar inclusión-exclusión con el área cubierta dada.

   $|A\cap B|=784-720=64\ \text{cm}^2$

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   Extraer el lado del cuadrado de solapamiento.

   $s=\sqrt{64}=8\ \text{cm}$

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   Comprobar, y notar cuándo se rompe este tipo de problema. El lado de cada hoja mide $\tfrac{28}{\sqrt2}\approx 19.8$ cm, holgadamente mayor que $8$ cm $\checkmark$, y $784-64=720$ $\checkmark$. El método solo da un lado entero cuando la diferencia $\tfrac{d^2}{2}\cdot 2-|A\cup B|$ resulta ser un cuadrado perfecto: por ejemplo, $d=24$ con un área cubierta de $528$ da un solapamiento de $48$, cuya raíz cuadrada es irracional, así que esa combinación no puede tener respuesta entera.