En el triángulo ABC, AD es la mediana al lado BC y M es el punto medio de AD. Si el vector BM = λ·vector BA + μ·vector BC, halla el par ordenado (λ, μ).

Step-by-step solution

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   Pasa a vectores de posición para que los puntos medios se vuelvan promedios. Escribe $\vec A,\vec B,\vec C,\vec D,\vec M$ para los vectores de posición de los puntos. La ventaja es que un punto medio es simplemente la media de sus extremos, lo que convierte la geometría en aritmética sobre coeficientes.

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   Ubica D y después M. $AD$ es la mediana al lado $BC$, así que $D$ es el punto medio de $BC$:

   $\vec D=\frac{\vec B+\vec C}{2}$

   y $M$ es el punto medio de $AD$:

   $\vec M=\frac{\vec A+\vec D}{2}=\frac{1}{2}\vec A+\frac{1}{4}\vec B+\frac{1}{4}\vec C$

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   Forma el vector BM. Resta el vector de posición de $B$:

   $\overrightarrow{BM}=\vec M-\vec B=\frac{1}{2}\vec A+\frac{1}{4}\vec B+\frac{1}{4}\vec C-\vec B=\frac{1}{2}\vec A-\frac{3}{4}\vec B+\frac{1}{4}\vec C$

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   Escribe la combinación buscada en las mismas coordenadas. Como $\overrightarrow{BA}=\vec A-\vec B$ y $\overrightarrow{BC}=\vec C-\vec B$,

   $\lambda\overrightarrow{BA}+\mu\overrightarrow{BC}=\lambda\vec A+\mu\vec C-(\lambda+\mu)\vec B$

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   Iguala coeficientes. Al comparar los términos en $\vec A$ sale $\lambda=\tfrac12$; al comparar los términos en $\vec C$ sale $\mu=\tfrac14$.

   $\boxed{(\lambda,\mu)=\left(\tfrac12,\ \tfrac14\right)}$

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   Verifica con el tercer coeficiente. El término en $\vec B$ exige $-(\lambda+\mu)=-\tfrac34$, y en efecto $\tfrac12+\tfrac14=\tfrac34$. Esta comprobación de consistencia importa: los tres coeficientes de $\vec A,\vec B,\vec C$ en cualquier expresión de este tipo deben sumar $0$, ya que $\overrightarrow{BM}$ es una diferencia de puntos y no depende del origen.