Sea el ángulo xAy agudo, B un punto del rayo Ax y Bm un rayo interior al ángulo xAy con Bm paralelo a Ay. Sean Au y Bv las bisectrices del ángulo xAy y del ángulo xBm. (a) Demuestra que Au es paralelo a Bv. (b) Si Bz biseca el ángulo ABm, demuestra que el ángulo vBz mide 90 grados. (c) Deduce que Bz es perpendicular a Au.

Step-by-step solution

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   (a) Traslada el ángulo usando el rayo paralelo. Como $Bm\parallel Ay$ y $Ax$ es una transversal que corta a los dos, en $A$ y en $B$, los ángulos $\angle xBm$ y $\angle xAy$ son ángulos correspondientes y, por tanto, iguales:

   $\angle xBm=\angle xAy$

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   Toma la mitad de los dos ángulos iguales. Las bisectrices parten ángulos iguales en mitades iguales, así que

   $\angle xBv=\tfrac12\angle xBm=\tfrac12\angle xAy=\angle xAu$

   Estos dos son, de nuevo, ángulos correspondientes para la transversal $Ax$ que corta a $Au$ y a $Bv$. Ángulos correspondientes iguales obligan a las rectas a ser paralelas:

   $Au\parallel Bv$

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   (b) Identifica el par suplementario en B. Los puntos $A$ y $B$ y la dirección $x$ están sobre una misma recta, con $B$ entre $A$ y la dirección de $x$, así que los rayos $BA$ y $Bx$ son opuestos. Por tanto, $\angle ABm$ y $\angle xBm$ forman un par lineal:

   $\angle ABm+\angle xBm=180^{\circ}$

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   Toma la mitad del par lineal. $Bz$ biseca $\angle ABm$ y $Bv$ biseca $\angle xBm$, y los dos ángulos bisecados son adyacentes a lo largo de la recta, así que

   $\angle vBz=\tfrac12\angle xBm+\tfrac12\angle ABm=\tfrac12\left(\angle xBm+\angle ABm\right)=\tfrac12(180^{\circ})=90^{\circ}$

   $\boxed{\angle vBz=90^{\circ}}$

   Este es el hecho general de que las bisectrices de dos ángulos adyacentes suplementarios son siempre perpendiculares.

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   (c) Combina los dos resultados. Por (b), $Bz\perp Bv$. Por (a), $Bv\parallel Au$. Una recta perpendicular a una de dos rectas paralelas es perpendicular a la otra, así que

   $Bz\perp Au$

   $\boxed{Au\parallel Bv,\quad \angle vBz=90^{\circ},\quad Bz\perp Au}$

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   Comprueba con un ángulo concreto. Toma $\angle xAy=60^{\circ}$. Entonces $\angle xBm=60^{\circ}$, así que $\angle xBv=30^{\circ}=\angle xAu$ ✓ (ángulos correspondientes iguales). Además $\angle ABm=120^{\circ}$, luego $\angle ABz=60^{\circ}$ y $\angle vBz=30^{\circ}+60^{\circ}=90^{\circ}$ ✓. Observa que la conclusión de (c) es $Bz\perp Au$, no $Bz\perp Ay$: son rectas distintas salvo que $Au$ coincida casualmente con $Ay$.