Identifica el vértice, el foco, el eje de simetría y la directriz de la parábola (x − 1)² = 8(y − 2).

Step-by-step solution

1. 1

   Decide cuál de las dos formas estándar corresponde. La variable elevada al cuadrado es $x$, así que la parábola abre verticalmente. Eso fija la plantilla como

   $(x-h)^2 = 4p(y-k)$

   Si la variable al cuadrado fuera $y$, la parábola abriría hacia un lado y todas las fórmulas de abajo intercambiarían sus papeles.

2. 2

   Lee $h$, $k$ y $p$ comparando término a término. Comparando $(x-1)^2 = 8(y-2)$ con la plantilla resulta $h = 1$, $k = 2$ y $4p = 8$, de donde

   $p = 2$

   Como $p > 0$, la parábola abre hacia arriba.

3. 3

   El vértice es $(h,k)$. Directamente de la comparación, el vértice es $(1, 2)$.

4. 4

   El foco está a $p$ unidades del vértice sobre el eje. Para una parábola vertical el foco es $(h,\; k+p)$:

   $(1,\; 2+2) = (1, 4)$

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   La directriz está a $p$ unidades por el otro lado, y el eje pasa por ambos. El eje de simetría es la recta vertical que pasa por el vértice, $x = h = 1$. La directriz es la recta horizontal $y = k - p = 2 - 2 = 0$, es decir, el eje $x$.

6. 6

   Verifica con la definición de foco y directriz. Toma $(5, 4)$: $(5-1)^2 = 16 = 8(4-2)$, así que el punto está realmente sobre la parábola. Su distancia al foco $(1,4)$ es $4$, y su distancia a la directriz $y = 0$ también es $4$. Distancias iguales confirman a la vez el foco y la directriz.