Un trapecio isósceles tiene base menor 4, base mayor 4 + 2r y dos lados iguales de longitud 2r. Halla su área y su perímetro en función de r.

Step-by-step solution

1. 1

   Suma los cuatro lados para el perímetro. Aquí no hace falta la altura:

   $P=4+(4+2r)+2r+2r=8+6r.$

2. 2

   Reparte el saliente para armar un triángulo rectángulo. La base mayor excede a la menor en $(4+2r)-4=2r$. En un trapecio isósceles ese exceso se reparte por igual entre los dos extremos, así que cada extremo sobresale

   $\frac{2r}{2}=r.$

   Al bajar una perpendicular desde cada vértice superior se forma un triángulo rectángulo de hipotenusa $2r$ (el lado oblicuo) y cateto horizontal $r$.

3. 3

   Halla la altura con el teorema de Pitágoras.

   $h^{2}+r^{2}=(2r)^{2}=4r^{2}\;\Longrightarrow\;h^{2}=3r^{2}\;\Longrightarrow\;h=r\sqrt3.$

   La proporción $r:r\sqrt3:2r$ es la del triángulo 30-60-90, así que cada lado oblicuo forma exactamente $60^{\circ}$ con la base mayor, independientemente de $r$: por eso la figura es semejante para todo $r$.

4. 4

   Aplica la fórmula del área del trapecio.

   $A=\frac12\bigl(\text{base menor}+\text{base mayor}\bigr)h=\frac12\bigl(4+4+2r\bigr)\bigl(r\sqrt3\bigr)=\frac12\cdot 2(4+r)\cdot r\sqrt3=\sqrt3\,r(r+4).$

5. 5

   Comprueba las fórmulas con un valor concreto y observa la restricción. Todo $r>0$ da un trapecio auténtico, ya que entonces la altura $r\sqrt3$ es positiva. Toma $r=1$: las bases son $4$ y $6$, los lados oblicuos valen $2$ y la altura es $\sqrt3=1.7320508$. Perímetro $=4+6+2+2=14=8+6(1)$ ✓, y área $=\tfrac12(10)(1.7320508)=8.660254$, mientras que $\sqrt3(1)(5)=8.660254$ ✓.