En el triángulo equilátero ABC con AB = 4 cm, los puntos M en AC y N en BC cumplen CM = BN, y ninguno coincide con un vértice. Las rectas AN y BM se cortan en G. (a) Traza CH perpendicular a AB en H y halla CH. (b) Demuestra que AN = BM y halla el ángulo AGM.

Step-by-step solution

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   (a) Aprovecha que en un triángulo equilátero la altura es también mediana. Como $CA=CB$, el pie $H$ de la altura desde $C$ es el punto medio de $AB$, así que

   $AH=HB=\frac{AB}{2}=2\ \text{cm}$

   Esto es lo que permite convertir el triángulo en un triángulo rectángulo con dos lados conocidos.

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   (a) Aplica el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo $ACH$.

   $CH^{2}=AC^{2}-AH^{2}=4^{2}-2^{2}=16-4=12$

   $CH=\sqrt{12}=2\sqrt3\approx3.46\ \text{cm}$

   Es el conocido resultado $\frac{\sqrt3}{2}\times\text{lado}$ del triángulo equilátero, aquí $\frac{\sqrt3}{2}\times 4$.

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   (b) Busca el par de triángulos adecuado para comparar. El par tentador $\triangle ABN$ y $\triangle CAM$ no sirve, porque $AM=4-CM$ es en general distinto de $BN$. Compara en su lugar $\triangle ABN$ con $\triangle BCM$:

   $AB=BC=4\ \text{(equilátero)},\qquad \angle ABN=\angle BCM=60^\circ,\qquad BN=CM\ \text{(dato)}$

   En cada triángulo el ángulo queda comprendido entre los dos lados que se corresponden, así que es una auténtica coincidencia LAL (lado-ángulo-lado).

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   (b) Concluye la igualdad de las dos cevianas. Por LAL, $\triangle ABN\cong\triangle BCM$, y los elementos correspondientes dan

   $AN=BM$

   además de la igualdad de ángulos que hará falta enseguida: $\angle BAN=\angle CBM$.

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   (b) Persigue los ángulos en el punto de corte $G$. Como $M$ está en $AC$, la semirrecta $BM$ divide el ángulo de $60^\circ$ que hay en $B$:

   $\angle ABM=60^\circ-\angle CBM$

   Sumando el ángulo igual que aporta la congruencia,

   $\angle BAN+\angle ABM=\angle CBM+\left(60^\circ-\angle CBM\right)=60^\circ$

   En el triángulo $ABG$ los ángulos en $A$ y en $B$ son exactamente esos dos, de modo que

   $\angle AGB=180^\circ-60^\circ=120^\circ$

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   (b) Pasa al ángulo que se pide. $G$ está sobre el segmento $BM$, así que $\angle AGM$ y $\angle AGB$ son suplementarios:

   $\angle AGM=180^\circ-120^\circ=60^\circ$

   Fíjate en que la respuesta no depende de dónde estén $M$ y $N$: deslizarlos por los lados (manteniendo $CM=BN$) gira las dos cevianas a la vez y siempre deja $60^\circ$ entre ellas. Una comprobación con coordenadas $A(0,0)$, $B(4,0)$, $C(2,2\sqrt3)$ y $CM=BN=2$ da $\angle AGM=60^\circ$, lo que lo confirma.