¿Cuántos triángulos distintos se pueden formar con lados de longitud 4, 8 y 11?

Step-by-step solution

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   Reconocer qué criterio de existencia se aplica. Se dan los tres lados, así que estamos en una situación LLL. A diferencia del caso LLA, el criterio LLL nunca produce un caso ambiguo: si el triángulo existe, es único salvo congruencia. Así que la respuesta solo puede ser $0$ o $1$.

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   Enunciar la desigualdad triangular. Tres longitudes positivas forman un triángulo exactamente cuando cada una es menor que la suma de las otras dos:

   $a+b>c,\qquad a+c>b,\qquad b+c>a$

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   Probar las tres desigualdades con $a=4$, $b=8$, $c=11$.

   $4+8=12>11\qquad\checkmark$
   $4+11=15>8\qquad\checkmark$
   $8+11=19>4\qquad\checkmark$

   En la práctica solo hace falta revisar la primera: la desigualdad que involucra al lado más largo es siempre la determinante.

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   Notar lo ajustado del caso. El margen es apenas $12>11$: si el lado más largo hubiera sido $12$ las tres longitudes serían colineales (un triángulo degenerado), y con $13$ no existiría triángulo alguno.

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   Concluir. Se cumplen las tres desigualdades y el criterio LLL fija la forma, así que se puede formar exactamente

   $\boxed{1}$

   triángulo. Como comprobación adicional, el mayor ángulo, opuesto al lado $11$, cumple $\cos C=\tfrac{16+64-121}{2\cdot 4\cdot 8}=-\tfrac{41}{64}$, un coseno válido, que da $C\approx 129.8^\circ$: obtuso, como es de esperar cuando el lado más largo apenas alcanza a cerrar.