En el trapecio ABCD con AB paralelo a CD, el lado no paralelo BC mide 7 cm y la distancia de I, punto medio del lado AD, a la recta BC es 4 cm. Halla el área del trapecio.

Step-by-step solution

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   Fíjate en lo que falta y deja de buscarlo. No se da ni la longitud de las bases ni la altura del trapecio, y no hay manera de recuperarlas: infinitos trapecios encajan con los datos. Así que el área tiene que poder calcularse únicamente con $BC$ y esa distancia, lo que apunta a un argumento de descomposición de áreas y no a la fórmula habitual de base por altura.

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   Descompón el trapecio desde $I$. Uniendo $I$ con $B$ y con $C$, el trapecio queda partido en tres triángulos: $IAB$, $IBC$ e $ICD$. Sus áreas suman el total:

   $S_{ABCD} = S_{IAB} + S_{IBC} + S_{ICD}$

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   Usa el punto medio para fijar dos de las tres alturas. Sea $h$ la altura del trapecio, es decir, la distancia entre las rectas paralelas $AB$ y $CD$. Como $I$ es el punto medio de $AD$, con $A$ sobre la recta $AB$ y $D$ sobre la recta $CD$, su distancia a cada una de esas paralelas es $h/2$. Por tanto

   $S_{IAB} = \tfrac12 \cdot AB \cdot \tfrac{h}{2}, \qquad S_{ICD} = \tfrac12 \cdot CD \cdot \tfrac{h}{2}$

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   Súmalas y compáralas con el trapecio. Sumando los dos triángulos exteriores:

   $S_{IAB} + S_{ICD} = \frac{(AB+CD)h}{4} = \frac{1}{2}\cdot\frac{(AB+CD)h}{2} = \frac{1}{2}S_{ABCD}$

   Los dos triángulos exteriores se llevan exactamente la mitad del trapecio, así que el triángulo central se lleva la otra mitad:

   $S_{IBC} = \tfrac12 S_{ABCD}$

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   Calcula el triángulo central con los datos dados. El triángulo $IBC$ tiene base $BC = 7$ y altura igual a la distancia de $I$ a la recta $BC$, que es $4$:

   $S_{IBC} = \tfrac12 \cdot 7 \cdot 4 = 14\ \text{cm}^2$

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   Duplícalo para obtener el trapecio. Como $S_{IBC}$ es la mitad del trapecio,

   $S_{ABCD} = 2 \cdot 14 = 28\ \text{cm}^2$

   Una comprobación numérica confirma que el resultado no depende de las bases: construyendo trapecios con bases y alturas muy distintas que sigan cumpliendo $BC = 7$ y $\operatorname{dist}(I, BC) = 4$ siempre sale un área de $28\ \text{cm}^2$.