Un cilindro oblicuo tiene por sección característica un rombo de lado 2 cm y ángulo 60°. Halla su volumen.

Step-by-step solution

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   Recuerda que la oblicuidad no cambia la fórmula del volumen. Por el principio de Cavalieri, para cualquier cilindro —recto u oblicuo—

   $V = (\text{área de la base}) \times (\text{altura})$

   donde la altura se mide perpendicularmente a las bases, no a lo largo del eje inclinado.

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   Entiende qué es la sección característica. Es la sección que produce el plano que pasa por el eje y es perpendicular a las bases. Su área vale

   $A_{\text{car}} = (\text{diámetro de la base}) \times (\text{altura}) = 2r \cdot h$

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   Calcula el área del rombo. Para un rombo de lado $a$ y ángulo comprendido $\varphi$,

   $A_{\text{rombo}} = a^2 \sin\varphi = 2^2 \sin 60^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\ \text{cm}^2$

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   Relaciona las dos expresiones. Al igualar $2rh = 2\sqrt{3}$ se obtiene

   $rh = \sqrt{3}$

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   Usa la condición de rombo para determinar $r$ y $h$ por separado. En una sección axial los dos lados son el diámetro de la base $2r$ y la longitud de la generatriz $L$. Un rombo tiene los cuatro lados iguales, así que

   $2r = L = a = 2 \implies r = 1,\qquad L = 2$

   La altura perpendicular es entonces $h = L\sin\varphi = 2\sin 60^\circ = \sqrt{3}$.

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   Sustituye en la fórmula del volumen.

   $V = \pi r^2 h = \pi (1)^2 \sqrt{3} = \sqrt{3}\,\pi \approx 5.44\ \text{cm}^3$

   Una comprobación rápida de consistencia: $2rh = 2(1)(\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}$, que coincide con el área del rombo del paso 3.