Dos hojas cuadradas idénticas tienen cada una una diagonal de 18 cm. Se colocan una encima de la otra de modo que la región de solapamiento sea a su vez un cuadrado de lado AB. Si el área total cubierta por la figura combinada es de 246 cm², halle la longitud de AB.

Step-by-step solution

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   Obtenga el área de cada cuadrado directamente de su diagonal. Para un cuadrado de lado $s$, la diagonal es $d=s\sqrt2$, de modo que $s^2=\dfrac{d^2}{2}$. Por lo tanto el área es la mitad del cuadrado de la diagonal, sin necesidad de hallar antes el lado:

   $\text{Área}=\frac{1}{2}d^2=\frac{1}{2}(18)^2=\frac{324}{2}=162\ \text{cm}^2$

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   Plantee la relación de inclusión-exclusión. Cuando dos regiones se solapan, el área realmente cubierta cuenta la parte compartida una sola vez:

   $\text{Cubierta}=\text{Área}_1+\text{Área}_2-\text{Solapamiento}$

   Esta identidad es todo el motor del problema.

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   Despeje el área del solapamiento. Las dos hojas juntas tienen $162+162=324\ \text{cm}^2$ de papel, pero cubren solo $246\ \text{cm}^2$:

   $\text{Solapamiento}=324-246=78\ \text{cm}^2$

   Los $78\ \text{cm}^2$ que faltan son exactamente la región cubierta dos veces.

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   Convierta el área del solapamiento en una longitud de lado. El enunciado dice que el solapamiento es a su vez un cuadrado, así que su lado es la raíz cuadrada de su área:

   $AB=\sqrt{78}\ \text{cm}$

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   Simplifique y evalúe. $78=2\times3\times13$ no tiene factores cuadrados, así que $\sqrt{78}$ no se puede simplificar:

   $AB=\sqrt{78}\approx8.83\ \text{cm}$

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   Compruebe que la respuesta es geométricamente posible. Cada hoja tiene lado $\sqrt{162}\approx12.73$ cm, y el lado del solapamiento, de $8.83$ cm, es menor que eso ✓: un solapamiento nunca puede superar a la propia hoja. Además $78<162$, así que el solapamiento es menos de la mitad de cada hoja, coherente con una superposición parcial ✓.