Un parque rectangular mide 30 m por 20 m. En cada una de las cuatro esquinas se coloca un macizo de flores con forma de cuarto de círculo de radio 7 m. Alrededor de la zona restante se construye una pista de correr. ¿Cuánto mide la pista?

Step-by-step solution

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   Decidir de qué está hecho realmente el contorno. Quitar un cuarto de círculo en una esquina elimina la propia esquina. El contorno de lo que queda ya no son cuatro lados rectos: son cuatro lados rectos acortados más cuatro arcos de circunferencia. Así que la respuesta no es el perímetro del rectángulo, ni tampoco ese perímetro menos el contorno completo de los macizos.

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   Acortar cada lado recto. Cada esquina se come $7\ \text{m}$ del lado que va en un sentido y $7\ \text{m}$ del lado que va en el otro. Cada lado pierde $7\ \text{m}$ en cada uno de sus dos extremos, de modo que

   $\text{lados largos: }2(30-2\cdot 7)=2(16)=32\ \text{m},\qquad\text{lados cortos: }2(20-2\cdot 7)=2(6)=12\ \text{m},$

   lo que da $32+12=44\ \text{m}$ de pista recta. (Tanto $30-14$ como $20-14$ son positivos, así que los cuatro macizos no se solapan; conviene comprobarlo antes de seguir.)

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   Sumar los cuatro arcos. Cada arco es un cuarto de una circunferencia de radio $7$, y cuatro cuartos forman una circunferencia completa:

   $4\cdot\frac{1}{4}\left(2\pi r\right)=2\pi(7)=14\pi\ \text{m}\approx 43.98\ \text{m}.$

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   Sumar el perímetro total.

   $P=44+14\pi\approx 44+43.98=87.98\ \text{m}.$

   Como el radio es $7$, la aproximación escolar $\pi\approx\tfrac{22}{7}$ hace que los arcos midan exactamente $2\cdot\tfrac{22}{7}\cdot 7=44\ \text{m}$ y el total exactamente $88\ \text{m}$, y por eso $88\ \text{m}$ es la respuesta buscada.

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   Contrastar el resultado con el rectángulo sin recortar. El perímetro original es $2(30+20)=100\ \text{m}$. En cada esquina se sustituyen $14\ \text{m}$ de borde recto por un arco de $\tfrac{7\pi}{2}\approx 11\ \text{m}$, con una pérdida de unos $3\ \text{m}$; las cuatro esquinas pierden unos $12\ \text{m}$, y $100-12=88\ \text{m}$. Redondear las esquinas acorta la vuelta, como tiene que ser.